A(z) = z + a z -l + a iZ -2 + ... + az+a

Aq(z) = z + a z -i + a iz -2 + ... + agZ + Выразим к (z) из уравнения (4-247):

n . n

k(z)= [Adj(zl- A)]B= Y z E ai+iA-J]

j-l i=j

Тогда (9-232) примет вид

n . n . . n-1

J=l i=j 1=0

(9-233) (9-234)

(9-235) (9-236)

Приравшшая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях последнего уравнения, получим

G(a .iB)=a -a Ki = D

G(a + a lA)B=a .i-a .i

G ZailA-lB = ai-ai или в матричной форме

(9-237)

(9-238)

Обозначим

(9-241) (9-242)

Тогда запишем уравнение (9-238) как

MSG = а - а (9-243) Из последнего уравнения находим решение для G:

G= [(MS)-4a-a)] (9-244)*

Так как М есть треугольная матрица, содержащая единицы на главной диагонали, то она не является вырожденной. Поэтому, чтобы существовало решение для G, определяемое формулой (9-244), матрица управляемости S должна иметь ранг и, или, что то же самое, пара матриц [А, В] должна быть управляе5110й.

Матрица обратной связи G в выражении (9-244) представлена кшс функция коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы О/, i = 1, 2, п. Другое выражение для G может быть получено через желаемое собственные значения замкнутой системы. Пусть среди этих собственных значений Zj, Zj, Zj, z - различные, a все остальные являются кратными. Тогда

A(z;)=0 i=l,2,...,n (9-245) и, следовательно, из выражения (9-232) вытекает

Gk(Z;) = -Ao(Zi) i=l,2,...,m (9-246) Обозначим

Ц = k(zj) (9-247) .Ao(z.)=Aoj - (9-248) для г= 1, 2,т; тогда (9-246) примет вид

Gk; = -Apj (9-249)

В случае собственного значения кратности q продифференщруем обе части выражения (9-232) по z и, полагая z = z+у, / = 1,2,q, получим

= ~m+j (9-250)

Для всех п собственных значений имеем

(j= l,2,...,q) (j= l,2,...,q)

(9-252)

С[Ц kg ... k l=-[Aoi Ao2 ... AoJ (9-253)

* Более простое выражение для G может быть записано через собственные значения замкнутой системы, если А и В представлены в канонической форме фазовой переменной.

ea(t}

Рис. 9.54. Структурная схема двигателя постоянного тока Тогда

G=-[Aoi 2 - До ]К-1 -

К=[к, к, ... к ] (9-255).

Если пара матриц [А, В] управляема, то решение для G, определяемое формулой (9-254), существует: при том же условии существует и мат-рвда К .

Пример 9.13. Этот пример имеет целью проиллюстрировать синтез цифровой системы управления с заданным расположением полюсов и обратной связью по состоянию. Управляемый процесс задан в виде двигателя постоянного тока, структурная схема которого изображена на рис. 9.54. Электродвигатель предназначен для управления чисто инерционной нагрузкой таким образом, чтобы любые ненулевые начальные значения тока якоря гд и угловой скорости нагрузки cj сводились к нулю за минимально возможное время. Система такого типа относится к известному классу систем управления, назьгааемых стабилизаторами. Электродвигатель характеризуется следующими параметрами.

Сопротивление якоря

Индуктивность якоря

Постоянная вращающего момента

Постоянная противоЭДС

Момент инерции двигателя и нагрузки

Коэффициент вязкого трения

/?c = 10m

- незначительная /д = 0,345 Н-м/А Ь= 0,367 В/(рад-с ) /=1,41 -Ю кгм В = 0,25Н-м/(рад-с~)

Все параметры даны в системе единиц СИ и согласованы друг с другом. На рис. 9.55 приведена диаграмма состояния двигателя. Входной переменной является напряжение якоря eg{t). Из диаграммы очевидно, что переменными состояния являются б (О и cj (Г). Запищем уравнения состояния электродвигателя в виде

(9-256)

i(t) = A (t) + Bu(t)

x(t) =

e(t)

w(t)

(9-257)

U(t) = ejt)

(9-258)

(9-259)