Для разрешения 2~ принимаем

<2- (2-25)

Объединяя соотношения (2-24) и (2-25), получим

< 2- . (2-26)

Правая часть соотношения (2-26) является верхним пределом скорости изменения входного сигнала, при котором разрешение преобразования может быть сохранено равташ 1/2 .

На практике входной сигнал можно характеризовать частотой его высшей гармонической составляющей. В качестве примера предположим, что время преобразования 10-разрядного двоичного АЦП равно 1 МКС. Представляя

e,(t)=sinc.t (2-27)

и используя соотношение (2-26), полчаем

; V c.cosc.t< 2X2-10.

В последнем выражении мы выбрали момент квантования t - О, что дает наибольшее значение coscor (или наибольший наклон sincor). Тогда

I 0J < 2-/10- 1953 рад/с, (2-29)

или входной сигнал не должен меняться с частотой большей, чем 311 Гц. Таким образом, хотя АЦП совершает 10 преобразований за 1 с, но не обеспечит достаточную точность кодирования сигналов, если в их спектре содержится частота выше 311 Гц.

В общем случае максимальная частота

! -1

г>п-1

(2-30)

где п - когаиество разрядов преобразователя. Соотношение (2-30) показывает, что сощах обратно пропорционально времени преобразования Т.. При увеличении разрядности (разрешения) преобразователя максимальное значение допустимой частоты Jveньшaeтcя в геометрической прогрессии. В табл. 2.6 показаны максимальные значения частоты входного сигнала (рад/с) при различных сочетаниях разрядности АЦП и времени преобразования Тс-

Период квантования. Из предыдущего рассмотрения ясно, что время преобразования Т. играет доминирующую роль во влиянии АЦП на характеристики системы. Так как время преобразования может быть уменьшено только при применении преобразователя с более высоким быстродействием, ограничение на максимальную частоту входного сигнала может

Таблица 2.6

Ю -* (1 мс)

10 (100 мкс) 10 (10 мкс) 10 (1 мкс) 10 (100 не)

125 1250 12500 125000 1250000

31,25 312,5 3125 31250 312500

7,8125 78,125 781,25 7812,5 78125

1,953 19,53 195,3 1953 19530

0,488 4,88 48,8 488 4880

0,122 1,22 12,2 122

1220

0,0305 0,305 3,05 30,5 305

быть сделано менее жестким при использовании УВХ на входе АЦП-УВХ квантует входной сигнал по времени и затем сохраняет значение сигнала в течение времени преобразования. На практике проектировщик цифровой системы всегда сталкивается с вопросом, как правильно выбрать частоту квантования.

Обозначим частоту квантования (Гц) или со (рад/с). Частота квантования связана с периодом квантования соотношениями

fs=llV, cjs = 2nfs = 2ж/Т.

Вообще говоря, частота квантования зависит от многих факторов, связанных с преобразованием сигналов и характеристиками системы. В этом параграфе рассмотрим факторы, определяемые преобразованием и обработкой сигналов.

Минимальный период квантования ограничен временем А/Ц преобразования и задержками УВХ. Например, если суммарное время преобразования 10-разрядного АЦП равно 1 мкс, то минимальный период квантования также равен 1 мкс. Соответствующая максимальная частота квантования равна 1 МГц. Однако на практике минимальный период квантования или максимальная частота квантования определяется и другими компонентами системы, в частности их быстродействием. Если в системе используется мультиплексирование или если данные должны быть обработаны микропроцессором, то не только УВХ и АЦП ограничивают частоту квантования. Так как микропроцессор является довольно медленным цифровым устройством, данные в нем могут обрабатываться только с определенной максимальной скоростью. Таким образом, в дискретных и цифровых системах управления максимальная частота квантования редко ограничивается лишь характеристиками УВХ и АЦП.

В то же время нетрудно заметить, что сущеструет ограничение снизу на частоту квантования. Очевидно, что УВХ должно работать с достаточно большой частотой, чтобы информация, содержащаяся во входном сигнале, не бьша потеряна в течение операций выборки и хранения.

Предположим, что синусоидальный сигнал с частотой 1 МГц квантуется каждую микросекунду. Если квантование, всегда происходит в тот момент, когда синусоидальный сигнал равен нулю, то результирующее значение квантованного сигнала ошибочно будет равно нулю. Аналогично,

Cots)

Рис. 2.28. Структурная схема цифрового автопилота (см. рис. 1.8) для аналитического исследования:

Cf(s) передаточная функция преобразователя; - дискретная передаточная

функция контроллера; ( /] (s) динамика аппарата; ( > (х) - передаточная функция гироскопа; Op(s) передаточная функция позициоппой обратной связи

квантованный выход будет равен нулю, если период квантования равен 0,5 мкс и моменты выборки совпадают с нулевыми значсни>1ми синусои-далыюго входного сигнала. Следовательно, для точного представления синусоидального сигнала необходимо иметь частоту квантования, которая более чем в 2 раза превышает частоту входного сигнала. В обн1ем, если частота наивысшей гармоники входного сигнала равна со/, (рад/с), то для сохрапа ия информа1и1и в процессе квантования частота квантования должна быть больше 2oj/ Этот критерий минимума частоты квантования, определяемый процессом обработки сигналов, представлен в п. 2.7 импульсной теоремой *. Например, для рассмотренного выше ЛЦП суммарное время нрсобразованю! равно 1 мкс. Если частота квантования будет выбрана равной 1 МГц (теоретический максимум), то входной сигнал не должен содержать гармоник с частотой более 0,5 МГц.

В последующих главах мы покажем, что устойчивость замкнутых цифровых систем управления тесно связана с периодом ква}1тования. ,В большинстве случаев небольшой период квантования является определяющим фактором устойчивости замкнутой системы. Следовательно, выбор необходимого периода квантования для замкнутой цифровой системы управления часто диктуется соображениями устойчивости.

Упрощенные структурные схемы АЦП и ЦАП. Интересно сравнить структурные схемы ЦАП (см. рис. 2.23) и АЦП (см. рис. 2.24). Если разрешение АЦП достаточно велико, то нелинейными эффектами квантования по уровню можно пренебречь; в этом случае функции преобразования декодера и шифратора могут быть представлены коэффициентами усиления. Тогда обе структурные схемы сводятся к схеме УВХ, что действительно справедливо при аналитическом исследовании цифровых систем. Например, для аналитического исследования цифровой автопилот, показанный на рис. 1.2, представляется структурной схемой (рис. 2.28), где АЦП и ЦАП заменены УВХ. В Этом случае KOfirponnep представлен дискретной передаточной функцией /)(г), а аналоговые элементы ~ соответствующими непрерывными передаточными функциями. Передаточная функция У ВХ будет определена в п. 2.11.

* Теорема В.А. Котельникова. - Прим. ред. пер.