Подстановка параметров двигателя в матрицы А и В дает:

О -267,19

(9-260)

(9-261)

244,68

(9-262)

Введем обратную связь по состоянию, реализовав ее с помощью датчиков углового перемещения в и скорости u). Управление осуществляется через квантователь и фиксатор, т. е.

u(kT) = -Gx(kT) (9-263)

(9-264)

а период квантования 7=0,005 с.

Задачей синтеза является определение gj и g2 таким образом, чтобы замкнутая цифровая сийгема управления имела собственные значения = = 0. Вазкно подчеркнуть, что собственные значения замкнутой цифровой системы являются собственными значениями матрицы Ф(Г) -О (7)G, где

(9-265) (9-266)

Т) = е* е(Т)= J 0(X)BdX

Переходная матрица состояния Ф(Т) для 7 =0,005 с вьгражается через матрицу А вида (9-261), т. е.

0(T)=-l[(sI-A)-l]

t=T=0,005

e(T)=-[(si-A)-° -

t=T=0,005

0,00276 0,263

0,00205 0.675

(9-267)

(9-268)

Теперь, когда управляемый процесс дискретизирован, запишем уравнения состояния в разностной форме

х[{к+ 1)Т] = 0(Т)х(кТ) + е(Т)и(кТ) (9-269)

где Ф(7) и 0(7) заданы выражениями (9-267) и (9-268) соответственно. Обратная Связь по состоянию огшсывается уравнением

и(кТ) = -Gx(kT)

- -о

(9-270)

Рис. 9.55. Диаграмма состояния двигателя постоянного тока, соответствующая структурной схеме (см. рис. 9.54)

Характеристическое уравнение разомкЕтутой системы, или матрицы ф (7), Z - 1 -0,00276 О Z - 0,263

Ao(z)=zl-0(T) =

= 7?- l,263z + 0,263 = О

(9-271)

Так как пара матриц [ф(7), ©(Г) ] полностыо управляема, то с помощью обратной связи по состоянию собствшные значения матрицы ©(Г) - ©(7)G можно задать произвольным образом. Пусть желаемое характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Ae(z) = z2 = o

В соответствии с уравнением (9-230) запишем

0,00205z -t- 0,00132

0,675(z-i)

k(z) = Adj[zI-<!)(T)] -©(Т) =

(9-272) (9-273)

Матрицу обратной связи определим из соотношения (9-254) где

02 = iV)

K = [ki кг]

= 0,263

= (2z-1,263)

= -1,263

kj = Adj(zi-0(T)] - em

lz=0

0,001323 -0,675

(9-274) (9-275)

(9-276)

(9-277) (9-278)

G = [296,3 0,970] (9-279)

Подставляя матрицу коэффициентов обратной связи и управление и {кТ) в (9-269), получим уравнение состояния замкнутой системы:

х[(к-1-1)Т]1 Г0,395 0,000781 ГхСкТ) g 2goj

Х2[(к -Ь 1)Т] -200 -0.392 , ХгСкТ)

Решение последнего уравнения в г-области имеет вид

2 = Adj[zi-0(T)] -ест)

Подставляя вьгражения (9-275) - (9-278) в (9-274), получим

X(z) =

z-l-b0,395z-2 0,00078z-2 -200Z-2 z--0.392z-2

x(0)

(9-281)

Таким образом, поскольку оба собственных значения замкнутой системы расположены в точке 2 =0, в спроектированной системе с обратной связью по состоянию сво- , бодное движение имеет апериодический характер. Как следует из выражения (9-281),

при любых начальных условиях для Xi (кТ) и х (кТ) процесс переводится в нулевое состояние за два периода квантования.

Матрицу обратной связи G можно найти и другим методом, используя соотношения (9-244).

9.10. СИНТЕЗ ПО ЗАДАННОМУ РАСПОЛОЖЕНИЮ ПОЛЮСОВ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ (СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ)

Метод синтеза систем с одним входным сигналом по заданному расположению полюсов с небольшим изменением можно распространить и на системы с несколькими входными сигналами. Рассмотрим систему

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9-282)

тц,е х(кТ) и-мерный вектор; и(кТ) - г-мерный вектор. Предполагается, что пара матриц [А, В] полностью управляема. Задача ставится следующим образом: найти такую матрицу G (гХ и), чтобы при управлении

и(кТ) = -Gx(kT) (9-283)

собственные значения матрицы А-BG размещались в произвольно заданных точках йа z-плоскости.

Представим себе систему с одним входом

х[(к + 1)Т1 = Ах(кТ) + В*и(кТ) (9-284)

и определим матрицу В* размерностью иХ 1 как

B*=Bw (9-285)

где W имеет размерность гХ 1. Матрица w должна быть выбрана так, чтобы пара [А, В*] бьша управляема. Тогда с помощью обратной связи

и(кТ) = -G*x(kT) (9-286)

можно разместить собственные значения матрицы А-B*G* в тех же точках, что и собственные значения матрицы А-BG. Следовательно, задача сводится к синтезу обратной связи по состоянию для системы с одним входом, описьшаемой уравнением (9-284). Если будет найдена матрица обратной связи G*, то G определится выражением

G=wG* (9-287)

поскольку BG = B*G*.

Очевидно, что в общем случае матрица w не является единственной. Требуется только, чтобы она удовлетворяла условию управляемости пары матриц [А, Bw]. Матрицу коэффициентов обратной связи G* для одномерной модели можно определить, используя либо соотношение (9-244), либо формулу (9-254).

Пример 9.14. Рассмотрим цифровую систему управления с несколькими входами

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9-288)