Пара матриц [А, В] является управляемой. Задача состоит в определении матрицы G так, чтобы при наличии обратной связи по состоянию

и(кТ) = -Gx(kT) (9-290)

собственные значения замкнутой системы располагались в точках Zj =0,1 и Zj =0,2 Обозначим

В* = Bw =

(9-291}

Пара матриц [А, В*] должна быть управляемой , поэтому потребуем, чтобы [В* АВ* была невырожденной матрицей, т. е.

АВ* =

1 2

= -(Wi+w )=0

(9-292)

HnHWj=#=-W2.

Сначала найдем матрицу обратной связи G* для системы с одним входом, вое пользовавпшсь формулой (9-254):

G* = -lAoi A02IK

01 = -Alz=0.1 = 1-21 Л 2= lzI-AI=o2=M4

k(z) = Adj(zI-A) - В* =Adj

z -1 ,1 z-1- 2

Wj(z -I- 2) -I-

(9-293)

(9-294) (9-295)

(9-296)

Тогда

kj = k(Zi) =

k2 = k(z2) = K=[ki k2] =

2,lwj + W2 -Wj-bO.lWg

2.2wj-l-w2 -Wj -t- 0,2W2

2 IWj, + 2,2wj + Wg

-Wj -I- 0,lw2 -Wj -I- 0,2w2

(9-297)

(9-298)

(9-299)

Анализируя выражение (9-299), можно показать, что К будет невьгрожденной матрицей, если выполняется условие (9-292). Выберем произвольно w = [1 1], т. е. условие wj W2 выполняется. Тогда

3,1 3.2 -0,9 -0,8

(9-300)

Подставляя выражения (9-294), (9-295) и (9-300) в (9-293), получим

G* = -[0,82 1,48] (9.301)

Матрица обратной связи дпя снстеглы с несколькими входами находится по формуле (9-287):

О = wG* = -

0,82 1,48 0,82 1,48 Теперь нетрудно показать, что

(9-302)

Izl - А + B*G*I = Izl - А + BGI = z - 0,3z -I- 0,02

(9-303)

причем корни этого уравнения имеют желаемые значения Zi = 0,1 и Zj = 0,2.

Другой способ определения G* предполагает использование выражения (9-244). В данном случае

1 О

2* 1

S=[B* АВ*] =

-Wj - 2w2

(9-304)

(9-305)

При условии, что собственные значения замкнутой системы равны 0,1 и 0,2, имеем

a=[-0,S 0,02] (9-306)

Кроме того,

а = 12 1] (9-307)

Тогда выражение (9-244) дает результат

G* = l(MS)-l(a - а)] =--- [-2,Sy, - 0,98w -3,62w - 2,3w ]

(w-i+w)2 1 г 12

(9-308)

откуда следует, что Wi не может быть равно - wj. Выбрав, как и выше wj = = I, получим

G* = -[0,82 1,48] (9-309)

т. е. тот же самый ответ, что и в выражении (9-301).

Взвешенная обратная связь. Рассмотренлый выше метод показьшает, что при синтезе систем по заданному расположению полюсов систему с несколькими входами можно заменить эквивалентной системой с одним входом. Две системы считаются эквивалентными только в том смысле, что они имеют одинаковые собственные значения.

Матрица w, используемая для преобразования системы с несколькими входами в систему с одним входом, обладает одним ограничением, а именно: последняя система должна быть управляемой. Матрицу w можно выбрать произвольным образом, однако на практике мы можем наложить и другие полезные ограничения на выбор ее элементов. Так как w умножается на вектор входа и(кТ), то смысл w заключается в том, что ее элементы придают различные веса обратным связям от переменных состояния к управляющим воздействиям. Например, если выбрать Wi = = 2w2, то это значит, что влияние обратных связей на и будет в 2 раза сильнее, чем на 2-

9.11. СИНТЕЗ ПО ЗАДАННОМУ РАСПОЛОЖЕНИЮ ПОЛЮСОВ

С ПОМОЩЫО НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

ПО СОСТОЯНИЮ ИЛИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО ВЬКОДУ

На практике не все переменные состояния доступны для измерения. По экономическим соображениям может оказаться нецелесообразным осуществлять обратную связь по всем переменным состоянию, особенно в системах высокого порядка. Поэтому необходимо рассмотреть способ реализации-заданного расположения полюсов в случае неполной обратной связи по состоянию или обратной связи по выходу.

Неполная обратная связь по состоянию. Рассмотрим цифровую систему управления

х[(к -И)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9-310)

где х(кТ) - и-мерный вектор; и(кТ) - г-мерный вектор. Обратная связь по состоянию описывается уравнением

и(кТ) =-Gx(kT) (9-311)

Преддоложим, что отсутствует обратная связь по Xi{kT), где i может иметь одно или несколько значений от 1 до п. Это означает, что соответствующие столбцы матрицы G должны состоять из нулей. Используя процедуру синтеза, рассмотренную в п. 9.10, положим

G=wG* (9-312)

где W имеет размерность f X 1, а G* - размерность IX f. Матрица w должна быть выбрана так, чтобы пара [А, Bw] была полностью управляемой. При неполной обратной связи столбцы G*, которые соответствуют нулевым столбцам G, также должны быть нулевыми. Поскольку матрица обратной связи G* для эквивалентной системы с одним входом связана с собственными значениями замкнутой системы, параметрами системы и матрицей w соотношением

причем один или большее число столбцов матрицы G* вынужденно являются нулевыми, то это накладывает ограничения на желаемые собственные значения замкнутой системы. Синтез цифровой системы управления с неполной обратной связью по состоянию иллюстрируется следующим примером.

Пример 9.15. Рассмотрим систему

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) + Ви(кТ) (9.314)

Обратная связь по состоянию определяется уравнением

и(кТ) =.-Gx(kT) (9-315)

G = [gi ёг! . (9.316)