re В, большем ранга матривд Д уже нельзя произвольно выбирать все элементы матрищ.1 w, если требуется получить максимальное число задаг-ньЕХ собственных значений замкнутой системы. При синтезе систем с обратной связью по состоянию такой проблемы не возникает, так как ранг D (D - единичная матрица размерностью и) всегда равен п, а ранг В не может быть больше п. Следуюший пример иллюстрирует синтез обратной связи по выходу и упомянутые выше ограничения.

Пример 9.16. Дана цифровая система управления, описьшаемая следующими уравнениями динамики:

Х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) 4- Ви(кТ) с(кТ) = Dx(kT)

(9-336) (9-337)

Требуется определить матрицу коэффициентов G таким образом, чтобы с помощью обратной связи по выходу

и(кТ) = -Ос(кТ) (9-338)

можно было получить заданные собственные значения матрицы A-BGD. Так как ранг D равен 2, и ранг В также равен 2, то произвольно могут быть заданы максимум два собственных значения. Пусть эти собственные значения таковы: Zj = 0,1 HZ2=0,2.

Характеристическое уравнение для матрицы А tzI-AI = z?-H

Тогда

(9-339)

(9-340)

В соответствии с выражением (9-331)

(9-341)

Поскольку ранг матрицы В равен 2, то В* имеет два независимых параметра и 2. Матрица управляемости для пары [А, В*]

Матрица S невырождена, если w\ ~ w\ Фо.

Пусть G* = [g* g]

(9-342)

(9-343)

Тогда

G*D =

(9-344)

Поскольку ранг D равен 2, то матрица G*D имеет два независимых параметра g* и g2- Воспользовавшись формулой (9-329), где G заменено на G*, запишем

G*D= [(MS)-(a-a)]

-wlcg + CgWj - WjW2(ai - 1) a3wf-WjW2a2 + w(aj-l)

(9-345)

(9-346)

-wWgag + Cgwl - wf(a - 1) = 0

Последняя строка в (9-346) дает ограничение в виде уравнения

(9-347)

Поскольку только два из трех собственных значений или аналогично два из трех коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы могут быть заданы произвольно, то, хотя wi и W2 могут быть любыми (при условии W} Фw2), они должны быть выбраны так, чтобы третье собственное значение соответствовало устойчивой системе. Это требование устойчивости накладывает дополнительные ограничения на выбор Wi и wj. Например, необходимым условием устойчивости замкнутой системы является неравенство 0!i < 1. Из (9-347) следует также, что м>2 не может равняться нулю.

Чтобы Z = 0,1 и Z = 0,2 были корнями характеристического уравнения 3

+ CgZ + a2Z + = О должны удовлетворяться следующие два уравнения: 2 + 0,3аз + 0,07 = О

- О.огад - 0,006 = О Решая последние два уравнения совместно с уравнением (9-347), находим 0,02w + 0,0004w + 0,006wjW2

0,3w + WjW2 + 0,02wf

-6,2996w2 - 0,07wjW2 3w2 + WjWg + 0,C 0,994w - 0,07w

0,3w2 + WjWg + 0,02w

. i

0,3w + WjW2 + 0,02w2

(9-348)

(9-349) (9-350)

(9-351)

(9-352) (9-353)

Полагая Wi = 0 и = 1, получим 0!i = 0,001333; ttj =0; 0!з = - 0,23333. При таких коэффициентах уравнение (9-348) дает следующие три корня: zj = 0,1; Zj = 0,2; zs - - 0,06667. Таким образом, при выборе Wi и третий корень, который не может быть задан произвольно, оказьшается равным - 0,06667, и замкнутая система устойчива. Разумеется, существуют и другие комбинации Wi и W2, соответствующие устойчивой системе с корнями z = 0,1 и z = 0,2.

Подставляя значения wi=0kW2 = 1, л также найденные aj, 2 и 0:3 в выражении (9-346), получим

(9-354)

Запишем матрицу обратной связи G* в виде

G* = [-1.232 0.99866] (9-355) Матрица обратной связи

Го1 Го О .

G = wG*= G*= (9-356)

1 -1,232 0,99866j (

Пример 9.17. Рассмотрим систему из примера 9.16, за исключением того, что

1 О о

1 О oJ (9-3 )

т. е. ранг этой матрицы равен 1. Это означает, что матрица

G*D = [ gf + g О О ] (9-358) имеет только один независимый параметр g* + gj- В этом случае выражение (9-346) выглядит так:

о* -L о*

gl + g2

wf-w

-wa3 4- pgwf - wWgCOj - 1) agwf - WjW2a2 + w{ai - 1) -WjWgOg + a2w - Wj(aj - 1)

(9-359)

Так как две последние строки выражения <9-359) должны равняться нулю, то можно выбрать произвольно либо wi, либо W2, но не оба сразу. Тогда

UgWj - WjWgOg + w(aj - 1) = о -wWgug -I- Ogwl - Wj(aj -.1) = 0

(9-360) (9-361)

Чтобы замкнутая система имела два собственных значения zj = 0,1 и ~ 0,2, должны удовлетворяться также уравнения (9-349) и (9-350). Эти два уравнения вместе с (9-360) и (9-361) образуют систему из четырех уравнений с пятью неизвестными 0!i, 0!2, Кз, Wl и W2. Поэтому ТОЛЬКО одна из этих неизвестных может быть задана произвольно. К сожалению, Wi и W2 нелинейно входят в уравнения, что обусловливает сложность их решения. В данном случае проще использовать метод грубой силы , записав

Izl - а -I- BGDI = 4- (ggi + g22)z + (Вц + 612) + 1 = 0

(9-362)

Следовательно, ясно, что только два из трех коэффициентов последнего уравнения могут быть заданы произвольно. Поскольку свободный член в уравнении равен 1, то при данной матрице D систему нельзя сделать устойчивой, используя обратную связь по выходу.

9.12. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО СОСТОЯНИЮ

И ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ

Рассмотренные выше методы синтеза с использованием обратной J связи по состоянию и обратной связи по выходу применяются при проектировании цифровых систем стабилизации. Соответствующим выбором собственных значений замкнутой системы можно обеспечить заданный характер свободного движения переменных состояния. Если же проекти-