руется система, предназначенная для отслеживания определенного входного сигнала, то обратная связь по состоянию и по выходу должна быть организована несколько иначе. Поскольку обратная связь по состоянию и по выходу не повышает порядок системы, то в обш.ем случае нет гарантии, что выходные переменные или переменные состояния системы в установившемся режиме будут отслеживать входной сигнал.

В соответствии с традиционным методом синтеза, в промышленности широко применяется ПИД-регулятор, обеспечивающий требуемое поведение управляемого процесса в переходном и установившемся режимах. Синтез системы управления с цифровым ПИД-регулятором был рассмотрен в 9.7. Поскольку ПИД-регулятор всегда повышает порядок системы (в предположении, что не происходит компенсации имеющихся полюсов и нулей), а обратная связь по состоянию или по выходу через постоянные коэффициенты не изменяет его, то и результаты управления в этих случаях будут неэквивалентны. Можно сказать, что с помощью обратной связи по состоянию или по выходу через постоянные коэффициенты нельзя достигнуть той же цели управления, что и с помощью ПИД-регулятора или какого-либо иного динамического регулятора.

В этом параграфе рассматривается метод синтеза, сочетающий обратную связь по переменным состояния и обратную связь по выходу, осуществляемую с помощью динамического регулятора. В частности, регулятор может вьшолнять операцию интегрирования в цифровой форме.

Рассмотрим цифровую систему управления, описываемую следующими уравнениями динамики:

х(к + 1) = Ах(к) -I- Ви(к) + Fw (9-363)

с(к) = Dx(k)ч- Еи(к) -I- Hw (9-364)

гдех(Д:) - и-мерныйвектор (состояние); и(к) - г-мерныйвектор (вход); с(к) - р-мерный вектор (выход); w - 9-мерный вектор (возмущение). Размерность матриц А, В, D, Е, F и Н определяется количеством соответствующих переменных. Вектор возмущения w предполагается постоянным. В качестве компонентов вектора w могут фигурировать также входные воздействия, в соответствии с которыми должно меняться состояние системы или ее выход. Компоненты вектора w, играющие роль возмущений, в общем случае неизвестны, хотя их значения предполагаются постоянными.

Цель синтеза цифровой системы управления, описываемой уравнениями (9-363) и (9-364), можно сформулировать следующим образом: найти такое управление и(Д:), чтобы

limx(k-(- 1) = limx(k) (9-365)

jimc(k)=0

Условие (9-365) эквивалентно требованию асимптотической устойчивости системы, а условие (9-366) предполагает стабилизацию выходных переменных системы. Вектор выхода с(к) не обязательно должен включать в себя только выходные переменные системы. В действительности, констру-

ируя надлежащим образом вектор с (/с) , можно сформулировать большое количество задач стабилизации и слежения.

Образуем векторы приращения состояния и управления

у(к) =

х(к + 1) - х(к) с(к)

(п + р) X 1

v(k) = u(k + 1) - u(k)

Тогда в соответствии с (9-367)

у(к+ 1) =

х(к+ 2)-х(к4- 1) с(к + 1)

Из уравне1шй (9-363) и (9-364) имеем

х(к-(- 2) = Ах(к 4- 1)-(-Ви(к 4- 1)-1- Fw

с(к + 1) = Dx(k +1)4- Eu(k 4- 1) + Hw

Сформируем вектор разности между у(/с + 1) и у (/с) :

(9-367) (9-368)

(9-369)

(9-370) (9-371)

у(к4-1)-у(к) =

А[х(к4-1) - х(к)] 4- В[и(к4-1) - и(к)] - [х(к4-1) - х(к)] D[x(k4-l)-x(k)] 4- E[u(k4-l)-u(k)]

v(k)

где I - единичная матрица размерностью и X п.

Преобразуя уравнение (9-372) , запишем его в виде

(9-372)

Таким образом, цель синтеза, определяемая условиями (9-365) и (9-366), эквивалентна переводу системы с уравнением (9-373) из любого начального состояния у(0) в состояние у (к) 0 при Л

Условия управляемости. Для достижения сформулированной вьппе цели управления прежде всего необходимо исследовать управляемость системы, описываемой уравнением (9-373) .

Обозначим

Тогда запишем уравнение (9- 373) в виде

у(к 4- 1) = Ау(к) + Bvk) (9-374)

Чтобы пара матриц [ А, В] бьша полностью управляемой, необходимо

и достаточно обеспечить матрице

[XI - А : В]

размерностью {п + р) X {п + р + г) ранг (и + р) при значениях Л, равных каждому из собственных значений матрицы А. Итак,

[XI-А:В] =

Х1 -А

-D (Х-1)1 Е

(9-375)

где 1т - единичная матрица размерностью тХ т.Ш последнего уравнения следует, что А имеет, по крайней мере,р собственных значений X = 1. Если X = 1, то (9-375) принимает вид

[XI- А = В] =

I - А О В

(9-376)

-D О Е

Если X 1, то ранг (Х - 1) 1ш равен р, и, чтобы матрица [Х1 - А : В] имела ранг й + р, матрица [ XI - А : В] должна иметь ранг п, в предположении, что пара [ А, В] управляема. Таким образом, пара матриц [ А, В] будет управляемой, если:

1) управляема пара [ А, В] и

2) матрица

А-1 В D Е

имеет ранг п + р.

(9-377)

В результате условие управляемости системы в приращениях (9-374) выражено через матрицы коэффициентов исходной системы.

Теперь предположим, что вектор управления \{к) образуется с помощью обратной связи по состоянию, т. е.

v(k) = -Gy(k) (9-378)

где G - матрица обратной связи размерностью г X (п + р), элементы которой представляют собой постоянные коэффициенты.

Учитывая выражения для v(k) иу(к) , запишем (9-378) в виде

v(k) = u(k -f 1) - u(k) = -G, [x(k + 1) - x(k)] - G2c(k) (9-379)

где матрица Gj имеет размерность г X , а матрица Gj - размерность гХр.

Вычисляя z-преобразование от обеих частей уравнения (9-379) , после упрощений получим

U(z)=-GiX(z)-33G2C(z)

(9-380)

Смысл последнего уравнения состоит в том, что управление и{к) получается в виде комбинации обратной связи по состоянию через постоянные коэффициенты и динамической обратной связи по выходу. Передаточную функцию 1/ (z - 1) можно рассматривать как цифровую аппроксимацию операции интегрирования. На рис. 9.57 изображена структурная схема замкнутой системы.

Пример 9.18. Рассмотрим цифровую систему управления

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) + W2

(9-381)