W2 - постоянное возмущение, величина которого неизвестна. Требуется синтезировать такую схему управления, при которой:

1) переменная Xi при к становилась бы равной входному эталонному сигналу r=Wi\

2) замкнутая система имела бы заданные собственные значения. Образуем выходную переменную как

c(k) = w-Xj(k) (9 382)

Тогда необходимо, чтобы с (к) стремилась к нулю при к ->-оо Используя уравнение выхода (9-364), имеем

D = [-1 0] Е = О . Н=[1 0] F =

О О

Очевидно, что пара матриц А, В] полностью управляема, и матрица

-1 1 -1 -1 -1 О

(9-383)

И5(1еет ранг, равный 3. Следовательно, полностью управляемой является и пара [А, В], где

О 1

-1 О

-1 О

Запишем управление в z-области, определяемое уравнением (9-380), в виде

U(z) = -gjXjCz) - ggXglz) - Д C(z) (9.384)

где gl, 42 и g3 - постоянные коэффициенты обратной связи. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Izl-A + BG = + (l + gl-g2)z-(l + gi + g3) = 0

z -1

1 + gj z + g2 1 0

g3 z-1

= z + (g - l)z2 +

(9-385)

Рис. 9.57. Структурная схема замкнутой цифровой системы управления с динамическим регулятором и обратной связью по состоянию

Рис. 9.58. Структурная схема замкнутой цифровой системы управления W

Рис. 9.59. Переходные процессы х, (к) для системы

W 12 ПК

Зададимся собственными значениями замкнутой системы z = 0,5; 0,3 +/0,3 и 0,3 -- /0,3. Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид

z- l,fz2 + 0,48z-0,С9=-0. (9-386)

Приравнивая коэффициенты уравнений (9-385) и (9-386), получим gi = - 0,62; Й2 = - 0,1; 3 =- 0,29-

На рис. 9.58 изображена структурная схема замкнутой системы, откуда следуют Z- преобразования переменных х i (к) и х (к) :

=~~ -z-2-g,z-2-f-53z-2

12 2 3

й=\ + ggZ-l + z + gjZ -

(9-387)

(9-388)

Применяя к обеим частям уравнения (9-387) теорему z-преобразования о конечном значении функции, получим

(9-389)

Следовательно, конечное значение Xi(k), как и требовалось, равно входному сигналу W .

На рис. 9.59 показаны переходные процессы длял:1(Л) при hi= 1 и двух значениях возмущения W2. Эти реакции определены только в дискретные моменты времени, но изображены в виде плавных кривых, проходящих через отдельные точки. Если возмущение равно нулю, то реакция Xi (Л) имеет запаздывание, равное двум периодам квантования, и стремится к значению входного эталонного сигнала Wi = г ~ 1 без перерегулирования. Если н2 = 1 (это значение выбрано совершенно произвольно) , то переходный процесс Xi (Л) достигает установившегося значения гораздо быстрее. Однако этот результат лучше, чем у процесса при W2 = О, только потому, что и2 имеет наиболее благоприятное значение vvi = 1. Если W2 будет иметь какие-либо другие значения, то переходный процесс не будет таким удачным.

г;.- 9.13. РЕАЛИЗАЦИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ

При синтезе систем управления с обратной связью по состоянию часто возникает затруднение, связанное с тем, что не все переменные состояния доступны для измерения. Кроме того, в системах высокого порядка для реализации обратной связи по состоянию необходимо иметь большое число преобразователей для измерения переменных состояния, что удорожает проектирование. В гл. 12 будет показано, что если управляемый процесс является наблюдаемым, то можно построить наблюдатель , который, используя информацию о входном и выходном сигналах, вырабатывает группу восстанавливаемых переменных состояния. Эти восстанавливаемые переменные, являюшиеся оценками действительных переменных состояния, используются затем в качестве сигналов обратной связи для управления процессом.

В традиционных методах синтеза обычно применяется обратная связь по выходу. Это совершенно естественно, так как выходной сигнал всегда доступен для измерения. Для этих методов характерно также то,что структура регулятора выбирается априори уже в самом начале проектирования. В этом параграфе рассмотрен метод, предоставляюший возможность эквивалентной замены обратной связи по состоянию последовательным регулятором или регулятором в цепи обратной связи. В общем смысле такой эквивалентный регулятор можно рассматривать как динамический наблюдатель-регулятор системы.

Рассмотрим цифровую систему, описываемую уравнениями

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) с(к) = Dx(k) -I- Eu(k)

(9-390) (9-391)

где х{к) - -мерный вектор; с{к) - -мерный вектор, u(A:) - р-мерный вектор; А, В, D и Е - матрицы коэффициентов соответствующей размерности.

Пусть управление осуществляется с помощью обратной связи по состоянию, так что

и(к) = -Gx(k) (9-392)

где G - матрица коэффициентов обратной связи размерностью р X q.

Задача состоит в аппроксимации цифровой системы управления с обратной связью по состоянию (рис. 9.60) системой (рис. 9.61) с регулятором в цепи обратной связи, использующим в качестве входного сигнала

Рис. 9.60. Цифровая система управления с обратной связью по состоянию

Рис. 9.61. Цифровая система управления с динамическим регулятором в цепи обратной связи по выходу