выход системы С(к) . Пусть соотношение вход-выход такого регулятора задано уравнением

U(z) = -H(z)C(z) (9-393)

гдеН(г) - матричная передаточная функция. Представим H(z) в виде

H(z) =

Hjj(z) (z) H2i(z) H22(z)

Hpi(z) Hp2(z)

Hiq(z) H2q(-)

(pX q)

(9-394)

Пусть Hy(z) (/ = 1, 2, p; j = 1,2, q) есть передаточная функция m-го поряд1а:

K,(z + ai.,z -l-fa,.2z -2-f +а..)

ii z- + PijlZ-l+Pi.2Z-2-b... + Pi. Раскладывая Яу(г) в ряд Лорана, получим

H,(z)= , Zd z-

ijl ijl ijl

(9-395) (9-396)

(9-397)

d.jk = ijk - ijk - I -Л

(k> 1)

При условии, что бесконечный ряд сходится, ограничимся в разложении Hjj(z) т членами:

li,z)K,.d,z- (9-398)

Смысл выражений (9-393) и (9-398) заключается в том, что управление и{к) формируется из выхода с{к) и всех его предшествующих значений до с (/с - m + 1) , где т пока не известно. Обозначим

kib

(9-399)

Подставив это выражение, являющееся аппроксимацией Hjj(z) , в уравнение (9-393), получим

U(z) =-

llfllO ll(m-l)5 12t120 - 12(m-l)J - IqtlqO - lq(m-l)l

- *2q(m-l)l

21210 - 2\(xa-V ггггО 22(m-l)l - 2qf2q0

KplfplO рЦт-г)! ргО - %2(m-l)J - Kpq[dpqg ... <lpq( .i)]

(9-400)

После перегруппировки элементов последнего уравнения запишем

1*11110 IqlqoJ - Iqlqll - tllli(m-l) - lqlq(m-l)5

IK21<210 V2qOJI t21211 Vzql fl21(m-l) K2qd2q(m-1)

U(z)--

tplplO - pqpqOl IKpdpil ... KpqdpqiJ ... [Kpidp lj ... Kpqdpq( l)]

C(z)-

z-lC(z) z-2c(z)

z-lcCz)

Ci(z) zCi(z)

z--lcCz) z-lCjCz)

z-C2(z)

Cq(z) z-lCq(z)

z- -lCq(z) I

(9-401)

Последнему уравнению соответствует уравнение во временной области с(к)

и(к)=-Р l (9-402)

с(к - m + 1)

где Р - матрица коэффициентов размерностью р X qm {см. уравнение (9-401)].

Подставив (9-392) в (9-391) , получим с(к) = (D - EG)x(k) Тогда

с(к - 1)= (D - EG)x(k - 1) На основании уравнения (9-390) запишем

Ах(к - 1) = х(к) - Ви(к - 1) = х(к) + BGx(k - 1) Из этого уравнения выразим

х(к- 1)*= (A-BG)-lx(k) Теперь подставим это выражение в (9-404) :

(9-403) (9-404) (9-405) (9-406)

с(к - 1) = (D - EG)(A - BG)-ix(k)

(9-407)

Применяя последовательно эту процедуру, можно записать следующие соотношения:

с(к - 2) = (D - EG)(A - BG)-2x(k) (9.4О8)

с(к - m -I- 1) = (D - EG)(A - BG)- lx(k) (9-409)

Подставляя выражения (9-403) и (9-407) ~ (9-409) в уравнение (9-402) , получим уравнение обратной связи по состоянию

D- EG

u(k) = -Р

(D (D

EG)(A - BG)

х(к)

EG) (A - BG)-2.

(D - EG)(A - BG)- !

(p X qm) (qm X n) (n X 1)

Теперь, сравнивая уравнения (9-410) и (9-392) , имеем D-EG

(D - EG)(A - BG)- Р (D-EG) (A-BG)-2 =G

(D - EG)(A - BG)- **! (p X qm) ~ (qm X n) (p X n)

(9-410)

(9-411)