Чтобы матрица Р была решением уравнения (9-411), цт должно равняться п, т. е. т = iilq. Это означает, что nfq должно быть целым, и разложение Я,у(2) в ряд должно быть ограничено т = n/q членами. Решая уравнение (9411) относительно Р, получим

(9-412)

при условии,что указанная обратная матрица сунюствуст.

Поскольку матрица Р имеет размерность р X qui, то она содержит (pqm) неизвестных. Система (9-410) состоит лишь из рп уравнений. Поэтому p{qin ~п) элементов матрицы Р могут быть заданы произвольно.. Следует также заметить, что, onpencjmB элементы матрицы Р, получим только значения коэффициентов А-у и dy/ в выражении (9-398) . Затем необходимо будет найти коэффициенты передаточных функций (9-395). с помощью уравнений (9-397) . Вообще говоря, неизвестных получается больше, чем уравнений (9-397) . Поэтому в идеальном случае просто можно положить

(9-413)

к>1 (9-414)

а все /Зуд. считать равными нулю для к = 1,2, f/. Однако, чтобы передаточные функции Iljjjij (z) бьши физически решшзуемыми, они не должны иметь пулей больше, чем полюсов. Следовательно, значения 3,-д> = 1. 2, (/, должны быть заданы таким образом, чтобы опи не оказывали заметного влияния на динамику системы в целом. Это условие аналогично классическому случаю, когда нули передаточной функции регулятора (z) синтезируются исходя из заданных динамических свойств системы, а полюсы выбираются так, чтобы опи не оказывали существенного влияния на качество системы. В одфровых системах управления полюсы y>,j (z) должны располагаться близ начала координат z-плоскости.

Ниже рассмотрена реализация обратной связи по состоянию в одно-, мерной системе с помощью динамического регулятора в цепи обратной связи.

Одномерные системы. Будем считать, что цифровая система управления, описываемая уравнениями (9-390)-(9-392) , имеет один вход и один выход, т. с. р = q = 1. Тогда, запишем матрицу коэффициентов обратной связи.

(IX п)

(9-415)

Динамический регулятор в цепи обратной связи описьшается скалярной передаточной функщюй

H(z) =

К(1 -I- OjZ + az

(1 + /3jZ+ Pz + ... + /3z

(9-416)

Разложение (z) в ряд Лорана из п членов имеет вид

H(z) = К(1 + djz-i + dgz- + ... + d z)

k-l v=l

(9-417) (9-418)

для к= 1,2, ...,п- 1. Уравнение (9-412) дает результат

(9-419)

-n+l

Эквивалентный последовательный регулятор в прямой цепи. Метод синтеза, изложенный в п. 9.12, основан на том, что динамический регулятор H(z) помещается в цепь обратной связи, как показано на рис. 9.61. Если эталонный входной сигнал г (к) равен нулю, т. е. система проектируется как стабилизатор, то не имеет значения, где помещается динамический регулятор: в прямой цепи или в цепи обратной связи. Однако, когда система проектируется в целях слежения за входным сигналом i{k) , может оказаться желательным поместить динамический регулятор в прямую цепь, как показано на рис. 9.62. Можно показать, что для одномерной системы эквивалентный последовательный регулятор в прямой цепи будет иметь передаточную функцию

GJz) =-\--- (9-420)

1 +D(zl-A)-lB[H(z)-1]

Пример 9-19. На рис. 9.63 изображена диаграмма состояния цифровой системы управления с обратной связыо по состоянию. Коэффициенты обратной связи выбраны так, чтобы собственные значения замкнутой системы были равны 0,5 + /0,5 и 0,5-/0,5.

Матрицы коэффициентов для процесса имеют следующий вид:

D = [0,264 0,368]

Е = 0

Рис. 9.62. Цифровая система управления с последовательным динамическим регулятором

~0.т(-д,)

Рис. 9.63. Диаграмма состояния цифровой системы управления с обратной связью по состоянию

Матрица коэффициентов обратной связи G = [0Д32 0,368]

Эквивалентный динамический регулятор в цепи обратной связи описывается передаточной функцией

H{z) = К К(1 -I- dz-l) (9-421)

Уравнение (9-419) дает

Р = К[1 u{i=G

= [0.132 0.368]

= 0,8514[1 -0,1216]

(9-422)

D(A-BG)-

0,264 0,368

0,896 -0,528

Таким образом, а: = 0,8514 и di = - 0,1216.

Чтобы динамический регулятор был физически реализуемым, зададимся произвольным значением pj, которое намного меньше, чем dy. Пусть (Sj = 0,0005, тогда

1 1 = -0,1211 (9-423)

Передаточная функция динамического регулятора в цепи обратной связи имеет вцд

H{z) = 0,8514z(z - 0,1211)/(z + 0,0005). (9-424)

Диаграмма состояния замкнутой системы с динамическим регулятором изображена на рис. 9.64.

0,36в

20.0005

Рис. 9.64. Цифровая система управления с динамическим регулятором, эквивалентная системе, приведенной на рис. 9ЛЗ