Рис. 9.65. Переходные процессы систем, изображенных на рис. 9.63 и 9.64:

1 - динамический регулятор; 2 - обратная связь по состоянию

Теперь сравним характеристики и показатели качества двух систем,изображенных на рис. 9.63 и 9.64. Характеристическое уравнение системы с обратной связью по сотоянию имеет вид

zI-A+BG = z2-z+ 0,5 = 0 (9-425)

Это уравнение имеет корни z = 0,5 -i- /0,5 и z = 0,5 - /0,5, что и требовалось. Характеристическое уравнение системы с динамическим регулятором в цепи обратной связи по выходу имеет вид

z - l,05418z2 0,554143Z - 0,027034 = 0. (9-426)

Корни последнего уравнения равны; z = 0,0541,z = 0,5 +/0,5 и 0,5 - /0,5.Таким образом, хотя применение вместо обратной связи по состоянию динамического регулятора повышает порядок системы до третьего, доминирующие корни характеристического уравнения занимают требуемое положение, т. е. z = 0,5 ±/0,5. Корень z = = 0,0541, расположенный на z-плоскости очень близко к началу координат, не повлияет сущестренно на динамику системы.

Будем считать, что начальное состояние характеризуется значениями (0) =1 илгг (0) = 0. Из рис. 9.63 имеем

0,264z2-0,448z

,2 .,о5 (9427)

Переходный процесс для с(Л) изображен на рис. 9.65. На основании рис. 9.64 z-преобразование выходной переменной системы с динамическим регулятором при тех же начальных условиях получается в виде

0,264z - 0,496444z2 - 0,000248z

C(z) = -----~-(0). (9-428)

- l,05418z + 0,554143z - 0,027034

Переходный процесс для с (к), соответствующий последнему уравнению, изображен на рис. 9.65. Сравнивая два переходных процесса, видим, что система с динамическим регулятором дает большее перерегулирование, но обе кривые вообще расположены очень близко друг к другу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Davison, Е. J., On Pole Assignment in Linear Systems with Incomplete State Feedback, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-15, June 1970, pp. 348-351.

2. Wonham, W. M., On Pole Assignment in Multi-Input Controllable Linear Systems, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, December 1976, pp. 660-665.

3. Smith, H. W. and Davison, E. J., Design of Industrial Regulations, Proc. lEE (London), Vol. 119, No. 8, August 1972, pp. 1210-1216.

4. Whitbeck, R. F. and Hofmann,L. G., Digita] Control Law Synthesis in the wDomain, Journal of Guidance and Control, Vol. 1, No. 5, September-October 1978, pp. 319-326.

ГЛАВА 10. СИНТЕЗ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

10.1. ДИСКРЕТНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА

При проектировании большого класса оптимальных систем управления tTaBHTCH цель обеспечить минимум или максимум критерия качества, который задается в виде

J = Y FWk),x(k + l),u{k),k] (10.1)

где F[ х(к),х(к + 1), и(к) , к] - дифференцируемая скалярная функция.

Отыскание максимума или минимума критерия качества/ производится при наличии ограничения в вцце равенства

х(к + 1) = f[x(k),u(k),k] (10-2)

которое является уравнением состояния системы, наряду с другими ограничениями в вцце равенств и неравенств. В уравнении (10-2) вектор х{к) имеет размерность п, а вектор и(к) - размерность р.

Большинство методов проектирования оптимальных систем основано на вариационном исчислении. Согласно принципу вариации задача нахождения минимума функции при наличии ограничений в виде равенств решается путем добавления ограничения на эту функцию.

Определим вектор \(к + 1) размерностью и X 1 как множитель Лагранжа. Критерий качества / (10-1) преобразуется к расширенному критерию

= Y F[x(k),x(k + lj,u(k),k] -1- <Х(к + 1),[х(к -(- 1) - f(x,u,k)]>

(10-3)

где символ < > обозначает скалярное произведение векторов.

В теории вариационного исчисления доказывается, что нахождение минимума или максимума функционала / при условии (10-2) эквивалентно отысканию минимума или максимума функционала Jc без ограничений. Пусть X(А:) , X(А: + 1) , u(A:) ик(к+ 1) имеют различные вариации: х(к) = х°(к) + е7?(к) (104)

х(к-И) = х°(к-(- 1) + е7?(к + 1) (10-5)

и(к) = и°(к) -I- 6/i(k) (10-6)

Х(к+ 1)= Х°(к+1)+7w(k-(-1) (10-7)

где х° (к) ,\ (к+ 1) , и° (к) и Х° (/с + 1) - векторы, соответствующие оптимальным траекториям; п(1<) ,М() и со (к) - произвольные векторные переменные.

(10-8) (10-9)

Подстановка соотношений (10-4)-(10-7) в выражение (10-3) дает

J = ¥[к(к) + e7j(k), х°(к +1)+ е7?(к -I- 1), и°(к) -I- 5,i(k), к] +

+ <Х°(к 4- 1-) + 7со(к + 1), к°(к + 1) 4- evik + 1)-

- Пх°Гк) + evik), u°(k) + Ьц{к), к] > Упростив запись, выразим Jc в виде

Раскладывая Fg в ряд Тейлора в окрестности точки х° (к) ,х {к + 1) Х° (Л 4- 1) , и° (к) , получим

F Гх(к), х(к + 1), Х(к + 1), и(к), к] =

эЕ:(к)

= FJx°(k), х°(к 4- 1), Х(к 4- 1), и°(к), к] + <e7?(k), > +

3F°(k) ЭБ;(к)

<( + Щт) > ах(кТТ) > +

(10-10)

эР!(к)

> +

члены высшего порядка.

Г;(к) = FJx°(k), х°(к + 1), Х°(к + 1). и°(к), к] (10-11)

Чтобы критерий Jc имел минимум, необходимо выполнить следующие □вия:

условия:

е=6=7=0

е=Л=7=0

(10-12) (10-13)

(10-14)

е=(.=7=0

Подставляя разложшие в ряд Тейлора для F. в выражение (10-9) и учитывая необходимые условия существования минимума Jc [см.уравнения (10-12) (10-14) ], получаем

N-1 N-1

ЭР°(к) < ()#(k-j

эр;(к)

1 <с.(кн-1),--.--

к) > + +Т) >

эр;(к)

> = о

N-1 ЭГ:(к)

Х,<.Э#(к)> = °

(10-15) (10-16) (10-17)