Уравнение (10-15) может быть записано как N-1 9F°(k) N ЭР°(к - 1)

> =

ЭР;(к-1). Эк°(к)

= - X <ч(к), к=0

9F°(k - 1)

> 4-

9F:(k -1)

р;(к - 1) = FJx°(k - 1), х°(к), Х°(к), и°(к - 1), к - 1] Преобразовав уравнение (10-18), получим

9F:(k) aF:(k -1)

aF;(k - 1)

>

(10-18) (10-19)

(10-20)

Согласно основной лемме вариационного исчисления, уравнение (10-20) удовлетворяется для любого ?}(/:), если выполняются следуюшСие равенства:

3F;(k) 3F;(k-l)

Эх°(к)

Эк°(к)

<г7(к).

эр;(к - 1) Эк (к)

>

(10-21)

(10-22)

Смысл основной леммы заключается в том, что для произвольного rjk) уравнение (10-20) может удовлетворяться только при одном условии: каждый член уравнения должен быть равен нулю.

Уравнение (10-21) называется дискретным уравнением Эйлера-Ла-гранжа, оно является необходимым условием существования экстремума (максимума или минимума) критерия качества J.. Уравнение (10-22) известно как условие трансверсальности, или граничное условие, которое необходимо для решения дифференциальных уравнений в частных производных (10-21).

Учитывая два дополнительных условия (10-16) и (10-17) , для произвольных д (/:) и tj (/: + 1) получим

эр;(к)

ЭХ°(к + 1)

auj(k)-

= 0 i=l,2,...,n

j= 1,2,...,Р

Уравнение (10-23) ведет к выражению

к°(к-ь 1) = f[x°(k),u°(k),k] которое означает, что уравнение оптимальной траектории должно удовлет-

(10-23) (10-24)

(10-25)

ворять уравнению состояния. Уравнение (10-24) для {к) определяет оптимальное управление и (к) через Х° (к+ 1) .

Для большинства задач проектирования задается начальное состояние х(0). Следовательно, возмущение х{к) при к = О равно нулю, так как х(0) зафиксировано, т. е. 7}(0) = 0. Условие трансверсальности (10-22) сводится к условию

ЭР°(к - 1)

О (10-26)

Большинство задач оптимального управления классифицируют в соответствии с граничными условиями в крайних точках. Например, если х (/У) задано, то этот случай называется задачей проектирования с зйкреиленны-ми крайними точками. Если значение х(Л) не определено или принадлежит некоторой области цели, то мы имеем задачу со свободными крайними гочкамы. Условие трансверсальности (10-26) необходимо использовать в соответствии со следующими граничными условиями в крайних точках:

Задача с закрепленными крайними точками: х(Л - фиксировано, 7?(Л0 = 0; тогда производная

9F°(k - 1)

Эк°(к)

имеет произвольное значение и для решения уравнения (10-21) кет необходимости в условии трансверсальности.

Задача со свободными крайними точками: х(Л) - не фиксировано (свободно), тг(/у) Ф 0. Тогда

9F°(k - 1) Эк°(к)

= О (10-27)

что является условием трансверсальности, необходимым для решения уравнения (10-21) .

Во многих случаях одни элементы вектора х(Л) фиксированы, а другие свободны, тогда рассмотренные вьппе условия трансверсальности мо-гуть быть применены соответственно.

Следующий пример иллюстрирует применение вариационного исчисления и дискретного уравнения Эйлера-Лагранжа для целей синтеза цифровых систем управления.

пример 10.1..Найдем оптимальное управление м° (fc) ,fc = 0,1,2,10, минимизирующее критерий качества

<> = i Z [x2(k) + 2u2(k)] (10-28) к=0

при ограничении в ввде равенства

х(к-1-1) = х(к) + 2и(к) (10-29) для следующих случаев.

А. Начальное состояние л: (0) = 1, конечное х (11) =0.

Б. Начальное состояние х(0) =1, конечное состояниех(11) не фиксировано. Решение. А. Запишем расширенный критерий качества в ввде

Jc= Т FlMi),u{k)] (10-30))

FJx(k), u{k) j = I [x2(k) + 2u2(k)] + Mk + l)[x(k + 1) - x(k) - 2u(k)] = F(k)

(10-31)

Используя уравнение (10-21), определим дискретное уравнение Эйлера-Ла-гранжа

Л°(к + 1) - Х°(к) - х°(к) = О (№32)

Из выражения (10-23) следует

= х°(к + 1) - х°(к) - 2и°(к) = О (№33)

что является ограничением в ввде равенства или уравнением состояния (10-29)

при условиях оптимума. Оптимальное управление определяется из выражения (10-24):

9F°(k)

4 = 2u°(k) - 2Л°(к + 1) = О (10-34) Следовательно,

и°(к) = Л°(к -I-1) (10-35)

После подстановки выражения (10-35) в (10-33) уравнения (10-32) и (10-33) образуют систему из двух разностных уравнений первого пч)ядка, решение которой определяет л.° (к + 1). Поскольку х(0) и х(11) заданы, в рассматриваемом случае эти значения определяют граничные условия для решения уравнений (10-32) и (10-33) и применять условие трансверсальности (10-26) нет необходимости. Система из двух разностных уравнений имеет ввд

Л°(к-И)-Х°(к)-х°(к) = 0 (10-36)

x°(k-hi)-2X°(k + l)-x°(k) = 0 (10-37)

при условии X (0) = 1 и X (11) =0. Эти уравнения можно решить методом z-преобразования или методом переходных состояний. Решения имеют ввд

х°(к) = 0,289[2,732 + 2Л°(0)](3,732) -t- 0,289[0,732 - 2Х°(0)](0,268) (10-38)

Л°(к) = [0,289 + 0,211Л°(0)](3,732) + [-0,289 -I- 0,789Л°(0)](0,268) (10-39)

Начальное значение \° (к) может быть найдено подстановкой х° (11) = О в выражение (10-38):

л°(о) =-1,366 .

Тотда оптимальная траектория х° (к) описываеа-ся как

х°(к) = (0,268) . (10-41)

а огпимальное управление

и°(к) =-2,732(0,268) =-0,732х°(к) (10-42)

При к = II, х° (11) должно быть равно нулю; однако применение численных методов дает в этом случае ошибку (0,268) * =5,1 10 .