2.7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА КВАНТОВАНИЯ

Так как операции выборки и хранения являются достаточно важными в цифровых и дискретных системах управления, необходимо разработать реалистическую и достаточно простую математическую модель УВХ. Хотя УВХ на практике обычно представляет собой единое устройство, аналитически удобнее рассматривать операции выборки и хранения отдельно.

Квантователь как амплитудно-импульсный модулятор. Операция квантования может рассматриваться как преобразование аналогового или непрерывного во времени сигнала в модулированный импульсный или цифровой сигнал. Как было показано выше, распространенным видом модуляции в процессе выборки и хранения является амплитудно-импульсная модуляция (АИМ).

На рис. 2.29 показана структурная схема периодического квантователя с конечным временем выборки. Длительность импульса или время выборки равно р, период квантования - Т. Безусловно, на практике время выборки р или временной интервал, в течение которого ключ квантователя замьфут, конечно.

Для входного сигнала f{t), который является функцией непрерывно изменяющегося параметра t, выход квантователя, обозначенный как(f), представляет последовательность импульсов конечной длительности, амплитуда которых промодулирована входным сигналом f{t). На рис. 2.30 квантователь представлен как эквивалентный амплитудно-импульсный модулятор. В этом случае входной сигнал /{t) должен быть умножен на несущий сигнал p{t), который является последовательностью периодических импульсов единичного веса. Рис. 2.31 иллюстрирует типичные формы входного сигнала/(О, несущего сигнала р (Г) и выходного сигнала/р* (?)

Законы управления работой квантователей, используемых в цифровых системах, могут быть различны. Например, период квантования может быть непостоя1Шым или изменяться циклически. Довольно часто встречаются цифровые системы с несколькими квантователями и с различными периодами квантования (например, показанная на рис. 1.9). Системы такого типа обыщю называют системами с многократным прерыванием. Периоды квантования таких систем могут быть кратными или некратными и несинхронизированными.

В некоторых физических системах операция квантования может происходить случайно, т.е. временной интервал между прерываниями может рассматриваться как случайный процесс.

Использование модели амплитудно-импульсного модулятора для представления квантователя (см. рис. 2.30) обеспечивает очевидное преимущество: при разлищ1ых законах квантования меняется только несущий сигнал р (/).

Если квантователь работает по схеме широтно-импульсной модуля 1щи ((НИМ), то выходной сигнал представляет собой последовательность импульсов, длительность которых является функцией амплитуды входного сигнала в моменты выборки. Типичные входные и выходные сигналы IJIMM показаны на рис. 2.32. Существуют и более сложные схемы преобра-

fpit)

T (p)

Рис. 2.29. Схема квантователя с постоянным периодом и конечным временем ныборки

А МП и ту дно-импуписнь/й модулятор

fp(t)=f(t)p(t}

Рис. 2.30. Амплитудно-импульсный модулятор как квантователь: р (?) - несущий сигнал

Рис. 2.31. Входной и выходной сигналы Рис. 2.32. Входной и выходной сигналы квантователя с постоянным периодом широтно-импульсного модулятора

зования. В одной из них в соответствии с входным сигналом в моменты замыкания шменяются и амплитуда и длительность выходных импульсов. Такой тип квантователя швестен как широтно-импульсный амплитудный модулятор. В некоторых случаях применение подобных сложных квантователей позволяет улучшить характеристики ш1фровых систем управления.

В этой главе будет рассмотрено математическое описание только для квантователя с постоянным периодом. Однако полученные соотношения-легко распространить на другие типы квантователей с переменным периодом.

Соотношение вход-выход для квантователя с конешой шириной импульсов. Концепция амплитудно-импульсного модулятора, представленная выше, оказывается полезной для математического анализа операции квантования. Квантователь, который может быть описан процессом амплитудно-импульсной модуляции (см. рис. 2.30 и 2.31), является линейным устройством. Это справедливо, так как квантователь удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако сушность аналого-цифрового преобразования затрудняет возможность получения корректной передаточной функции. Тем не менее, поскольку рассматриваемый здесь квантователь является линейным, то для получения соотношения вход-выход можно использовать преобразования Фурье и Лапласа.

Рассматриваемый здесь квантователь будет также иметь конечную Ширину импульсов, как и в реальных случаях. Ниже показано, что учет конечной ширины импульсов может быть достаточно сложным. При рассмотрении процесса выборки и хранения можно предположить, что квантователь имеет нулевую длительность импульсов или нулевое время выборки. В этом случае математическое описание квантователя существенно

p(t) Рис. 2.33. Последовательность единичных

импульсов

-м+р ор тт+р гтгпр

упрощается. Однако для лучшего понимания получаемых результатов сначала будет рассмотрен общий случай.

Выходной сигнал квантователя с постоянным периодом и конечной шириной импульсов, получаемый при входном сигнале /(t), может быть рассмотрен как произведение входного сигнала /(t) и несущего сигнала p(t), который является последовательностью единичных импульсов с периодом Г (см. рис. 2-29-2-31). Таким образом, несущий сигнал можно выразить как

P(t)= I [u(t-kT)-u(t-kT-p)] (р<Т) (2-31)

к=-~

где Ug (t) - единичная ступенчатая функция Us(t)=0 t<0 u (t) =1 t > О

(2-32)

В данном случае предполагаем, что операция квантования начинается при t = - >, и передний фронт импульса при t = О совпадает с ? = О (рис. 2.33). Выход квантователя запишем в виде

f*(t) = f(t)p(t) (2-33)

Подставляя соотношение (2-31) в (2-33), получим

f*(t) = f(t) I [ (t - кТ) - u(t - кТ- p)] (p < T) (2-34)

k=- o

Выражение (2.34) представляет описание во временной области соотношения вход-выход для квантователя с постоянным периодом и конечной длительностью импульсов.

Интересно исследовать частотные характеристики выходного сигнала квантователя. Последовательность импульсов fp *(t) обычно содержит составляющие с большими частотами, чем f(t). Следовательно, квантователь можно рассматривать как генератор гармоник.

Поскольку последовательность единичных импульсов p{t) является периодической функцией с перидом Т, она может быть представлена в виде ряда Фурье

P(t)=l0e (2-35)

где cog - частота квантования, рад/с, которая связана с периодом квантования соотношением

со, = 2я/Т (2-36)

С - коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме, определяемые как

C = jjp(t)e *dt (2-37)