Б. Когда л: (0) = 1,ах(11) нефиксировано , необходимо использовать условие трансверсальности

9F°(k-l)

Эх (к)

к=11

Последнее условие ведет к равенству: Л°(11) = 0

Подставляя условие (10-44) в уравнение (10-39), получим \° (0) =- 1,366. Это такой же результат, как и в выражениях (lfr41) и (10-42).

Одинаковый результат при свободной и закрепленной конечных точкахх (И) объясняется тем, что критерий качества включает ограничение на х (к), которое заставляет X {к) быстро стремиться к нулю. В общем случае, когда х (N) не фиксировано, оно может достигнуть любого конечного значения.

Итак, метод вариационного исчисления требует решения дискретного уравнения Эйлера-Лагранжа. Однако для системы к-го порядка, порядок уравнения Эйлера-Лагранжа равен 2п. Это означает что решение уравнения Эйлера-Лагранжа является довольно сложной процедурой.

Хотя управляемость и не упоминалась в связи с применением дискретного уравнения Эйлера-Лагранжа к синтезу систем, однако очевидно, что если задано х(ЛО , где iV-конечное целое число, то система должна быть управляемой по состоянию.

10.2. ДИСКРЕТНЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА (МИНИМУМА)

Принцип максимума (или минимума) Понтрягина является мощным методом получения отимального решения для широкого класса непрерывных систем управления. Принцип максимума базируется на вариационном исчислении, но процедура решения более изящная, чем при использовании уравнения Эйлера-Лагранжа. Для расчета цифровых систем управления можно применить дискретный принцип максимума. Строго говоря, применение дискретного принципа максимума требует исследования условия выпуклости системы. Материал, представленный в этом параграфе, ограничен практическим использованием метода, поэтому строгие математические выкладки сведены к минимуму.

Задача проектирования может быть сформулирована следующим образом.

Найти оптимальное уравнение и (к) на интервале [0,N], минимизирующее критерий качества

J = G[x(N), N] + Y FWk). 1 (10-45)

при ограничений, заданном в виде равенства

х(к + 1) = f[x(k), u(k), к] (10-46)

Член G[xiN),N] в выражении (10-45) является терминальной составляющей критерия качества. Эта составляющая необходима как ограничение на конечное состояние только в случае, если х(Л) не является закрепленной точкой.

По аналогии с множителем Лагранжа определим и-мерный дополнительный вектор р(к) . Тогда задача оптимизации эквивалентна минимизации

J = G[x(N),N] + Y k=0

P[K(k),u(k),k] -

- <p(k + 1), [x(k + 1) - f(x,u,k)]> (10-47) Определим как гамильтониан скалярную функцию H[K(k),u(k),p(k-h 1),к] = F[x(k),u(k),kl -

- <р(к + 1), f [х(к), u(k), к] >

При задании гамильтониана таким образом он соответствует задаче дискретного принципа максимума. Для дискретного принципа минимума гамильтониан определяется в виде

Н[х(к), и(к), р(к + 1), к] = F[x(k), u(k), к] +

+ <р(к + 1), f[x(k), u(k), к]> (10-49)

Как будет показано ниже, принцип максимума основан на том, что гамильтониан имеет максимум вдоль оптимальной траектории, и наоборот, для принципа минимума гамильтониан имеет минимум.

Подставляя выражение (10-49) для гамильтониана в соотношение (10-47), получим

Н[х(к),и(к),р(к+ 1),к] -

(10-50)

(10-51) (10-52) (10-53)

(10-54)

J = G[x(N), N] + X

- <р(к -ь 1),х(к -f- 1)>

что соответствует принципу минимума.

ПустьX(/:) ,х(/+ 1) ш\х{к) имеют следующие вариации:

х(к)= х°(к)-Ь еч(к) (п X 1) х(к+ 1)= x(k-t- l)-h еч(к-Н 1) (п X 1) . и(к)= и°(к)+6,i(k) (pXl)

р(к + 1) = р°(к -I- 1) -t- 7w(k +1) (n X 1) Тогда выражение (10-50) можно записать как J= G[x°(N)-l- e4(N),N]-H

+ Y Н[х°(к) + ег7(к), u°(k) + 6,i(k), p°(k + 1) + 7w(k + 1), k] -k=0

- <p°(k + 1) -t- 7w(k + 1), x°(k +1)+ ет?(к -b 1)> (10-55) Раскладывая G[ x(N), N] в ряд Тейлора в окрестности точки С[ х° (Л) ,N] получим

G[x(N), N] = G[x°(N), N] + e<rj(N), > + -. (10-56)

Аналогично раскладываем Я[х(к), u(k) , p(к + i),k] в ряд Тейлора в окрестности точки х° (к) , и (к) ,у)° (к+ I) и х° (к+ i):

е=б=у=0

*> = о

е=6=у=0

37 получим

(10-59) (10-60)

(10-61)

Из уравнения (10-64) следует

ЭН°(к) . Эр°(к + 1) - + 1>

(10-62) (10-63)

(10-64)

(10-65)

что является исходным уравнением состояния (10-46). Из уравнения (10-63) следует

эШк)

ди(к)

(10-66)

что соответствует экстремуму гамильтониана по отимальному управлению вдоль оптимальной траектории.

Последний член в левой части уравнения (10-62) можно записать как

N-1 N

Y <Р°(к + 1), ч(к -)- 1)> = V <р°(к), ч(к)> =

к=0 к=1

= Y <P°(k).7j(k)> + <p°(N), 73(N)> -<р°(0),ч(0)> к=0

(10-67)

где . (10-57)

Н°(к) = Н[х°(к), и°(к), р°(к + 1), к] (10-58)

Подставляя в выражение (10-55) разложения в ряд Тейлора для Glx{N),N] иН[х{к),и(к),р{к+l),k] и учитывая следующие необходимые условия минимума Jc.