Так как х(0) задано и 7?(0) = О, тогда уравнение. (10-67) примет вид

Y <Рк + 1), Г7(к + 1)> = Y <Р°(к), Г7(к)> + <p°(N), 7j(N)> (10-68) к=о к=0

После подстановки последнего уравнения в (10-62) и преобразований получим

Так как вариации независимы, уравнение (10-69) удовлетворяется только при условии, что

9G!(N) .

aK°(N) - Р (> (10-70)

Итак, чтобы критерий качества Jc достигал экстремума, необходимо выполнение следующих условий:

ЭН(к) с ,

Э?(кУ ~ (10-72)

ЭН°(к) о 1. Эр°(к + 1) - + (10.73)

Уравнения (10-72) и (10-73) дают 2и разностных уравнений первого порядка, которые называются каноническими уравнениями состояния. Уравнение (10-74) определяет оптимальное управление и (к) , а уравнение (10-75) дает условие трансверсальности, которое необходимо использовать, когда X (N) является незакрепленной точкой. Если некоторые элементы вектора х(Л) определены, то соответствующее условие трансверсальности для р° (N) не используется.

Следующий пример иллюстрирует применение дискретного принципа минимума к проектированию цифровой системы управления.

Пример 10.2. Найти оптимальное управление и (к) , к = О, 1, 2, .... 10, минимизирующее критерий качества

J = i %х2(к)-Ь2и2(к)] (10-76) к=0

при наличии ограничения в вцце равенства

х(к-t-1) = х(к)-Ь 2и(к) (10-77)

Начальное состояние X (0) = 1, конечное л (11) = 0. Заметим, что эта задача совпадает с задачей А из примера 10.1.

Первым шагом синтеза с использованием дискретного принципа минимума является определение гамильтониана. В соответствии с выражением (10-49)

Н[х(к), и(к), р(к + 1)] = I [х2(к) + 2u2(k)] + р(к + 1)[х(к) -f- 2u{k)] (l0-78)

Канонические уравнения состояния можно получить из уравнений (10-72) и (10-73) . Они имеют ввд

р°(к -t- 1) - р°(к) = -х°(к) (10-79)

х°(к -I- 1) - х°(к) = 2и°(к) (10-80)

Из уравнения (10-74) naJtocM оптимальное управление

и°(к) = -р°(к -I-1) (10-81)

Так как конечная точка л-(11) закреплена, в условии трансверсальности (10-75) нет необходимости.

Решения уравнений (10-79) - (10-81) имет ввд:

х°(к) = 0.289[2.732 - 2р°(0)](3.732) -t- 0.289[0.732 -I- 2р°(0)](0.268) (10-82)

р°(к) = [-0.289 -t- 0.211р°(0)](3.732) -I- [0.289 -I- 0.789р°(0)](0.268) . (10-83)

Эти уравнения схожи с выражениями (10-38) и (10-39) и отличаются несколькими знаками. Подстановках (11) =Овформулу (10-82) дает результат р°(0) = 1,366. Следовательно.

Х°(к) = (0,268)*

и°(к) = -2,732(0,268)*

Решение совпадает с результатами, полученными в примере 10.1 (задача Б) .

Теперь, считая х (11) свободной крайней точкой, добавим к критерию качества (10-76) дополнительную терминальную составляющую

J = 1 х2(11) + i [х2(к) + 2и\к)\ (10-84)

Условие трансверсальности (10-75) дает

х°(11) = р°(11) (10-85)

Тогда изформул (10-82) и (10-83) при А: = 11 следует, что р° (0) = 1,366. Для X °(к) и и (к) получается тот же результат, что и в предьщущем случае.

Необходимо подчеркнуть, что решение задачи оптимизации по критерию минимума с использованием критерия качества с терминальной составляющей при свободной крайней точке может дать результат, отличный от результата, полученного при решении методом вариационного исчисления.

10.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭНЕРГИИ

Проблема проектирования оптимальной по быстродействию системы может быть сформулирована как задача перевода процесса из состояния х(0) в состояние х(Л) за минимальное время. При этом управление подчиняется ограничению \и(кТ)\ <U. В зтом параграфе будет рассмотрен синтез оптимальной по быстродействию системы с квадратичным ограничением на управление. Процедура решшия основана на использовании дискретного принципа минимума. Полученные результаты будут использованы в гл. И при проектировании линейного цифрового регулятора. Задача формулируется следующим образом.

Пусть задана цифровая система ..= ... .. ..

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (10-86)

где х{к) имеет размерность пХ 1,п(к) - размерность р X 1; А - невырожденная матрица. Предполагается, что пара [А, В] полностью управляема. Требуется найти оптимальное управление и (к) , к = О, I, 2, ...,N- 1, которое переводит процесс из начального состояния х(0) в конечное x(N) = О при условии ограничения на управление 1 N-1

J = У u(k)Ru(k) = минимум, (10-87)

к=0

где R - симметрическая и положительно-определенная матрица.

Критерий качества вида (10-87) является квадратичной формой и в данном случае отражает энергетические ограничения в проектируемой системе. Следовательно, критерий качества / вида (10-87) является альтернативным, хотя и не эквивалентным ограничением на управление и(к).

Решение задачи начинаем с нахождения гамильтониана

Н[к(к), р(к + 1), и(к)] = I <и(к), Ru(k)> -ь- <р(к + 1), к(к + 1)> (10-88) Чтобы / имел минимум, необходимо выполнить следующие условия:

f- = P°(k)= AV(k+l) (10-89)

= х°(к + 1) = Ах°(к) + Bu°(k) (10.90)

llC=Ru°(k) +BV(k+l)=0, (10-1) Эи (к)

К°(к) = \ <и°(к), Ru°(k)> + <р°(к + 1), Ак°(к) + Ви°(к)> (10.92)

Так как х(0) и х(Л) фиксированы, в условии трансверсальности нет необходимости.

Отимальное управление определяется из уравнения (10-91)

и°(к) = -R-iBp°(k + 1) (10-93)

где обратная матрица существует, поскольку R - положительно-определенная матрица

В рассматриваемом случае уравнение (10-89), определяющее дополнительный вектор р° {к) , не зависит от переменной состояния х{к) . Тогда получаем решение

р°(к)= (А-)р°(0) (10-94)

где предполагается существование матрицы, обратной матрице А. Подстановка выражения (10-93) в уравнение (10-90) дает

к°(к + 1) = Ах°(к) - BR-iBp°(k + 1) (10-95)