- .Решение уравнения (10-95) имеет вид N-1

ж°(М) = аО) - X A--BiR,-%(A-l)p°(k) . (10-96) к=0

Полагая х° (N) = О и решая последнее уравнение относительно х(0) с использованием (10-94),получим

х(0) = Y A--iBK-lB(A-k-i)p(0) (10-97)

Отметим, что

w= У A-*~BR-iB(A--i)= У s.s:

к=0 к=0

(10-98)

является матрицей управляемости, если R - единичная матрица [см. уравнение (811) ]. Для любой неедкничной матрицы R, которая является симметрической и положительно-определенной, положим

а- - = КК . (10-99)

где К - матрица размерностьюр X-р.Тогда в выражении (10-98)

= А--Чк (10-100)

Так как r. - симметрическая и полошлельно-определенная матрица, имеет те же свойства. Уравнение (10-99) имеет единственное решение симметрическую и положительно-определенную матрицу К, так как это уравнение является простой формой нелинейного матричного уравнения Рхжкати

K0Q-8K - КФ - ФК - R- = О (10-101)

npK9 = I,Q- =5иФ = 0.

Матрица WpasMepHocTHo пХпъ уравнении (10-98) является невырожденной, если матрица

[А-ВК А-ЕК ... А-ВК] (nXpN.) (10-102)

1шеег ранг п. Последняя матрица может быть записана в виде

К

[А-В А-Е ... А- В] (п X pN)

(10-103)

...А-В]

(pN X pN)

Ранг 1йа1рицы (10-102) тот же,что и ранг матрицы [ А А шш матрицы [ В АВ ... А: , так как К - положительно-определенная матрица. Следовательно, если пара [А, Б] полностью управляема, то и пара {А, ВК] также полностью управляема.

М.Ы установили, что если пара [А, Б] полностью управляема, то УУ-невыровденная матрица. Из выражешя (10-97) получим

р(0)= W-ix(O) . (10-104)

Оптимальное управление может быть выражено через начальное состояние х(0) . Из уравнения (10-93) следует, что

иЧЮ = -Е-1в(А-1)р(к) = -K-iB(A-i)(A-);p(0) (10-105)

Тогда

и°(к)=-R-1b(A--1)W-1s:(0) . (10-106)

Подставляя последнее выражение в уравнение (10-87) , после упрощений получим оптимальный критерий качества в виде

J° = I x(0)W-lx(0) (10-107)

Ценность этого результата заключается в том, что оптимальный критерий качества зависит от начального состояния х (0). Поа;<ольку W зависит только от заданных А, В и R, то выражение (10-107) показывает, что при фиксированной верхней границе J° для х (С) может быть определена область управляемых состояний. Другими словами, выражение (10-107) определяет область в пространстве состояний для х(0) , из которой обеспечивается перевод в х (Л) =0 для заданных Niif.

Пример 10.3. Задана цифровая система

х(к -1- 1) = Ах(к) + Зи(к) (10-108)

Необходимо определить следующее.

A. Найти постоянную матрицу коэффициентов обратной связи по состоянию G, такую, что и(/с) = - GxOt) переведет процесс из любого состояниях(0) =0 за TV = 2. Определить ojiTHManbHoe управление и /) для к = О, 1 и оптимальную траекторию состояний X (Йприх(0)=[1 1] их (2) = 2.

Б. Управление имеет ограничение и(/с) < 1. Определить область управляемых состояний для X (0) на плоскости состояний для N2 и х (N) = 0.

B. Найти оптимальное управление и (к), которое переведет процесс из начального состояния х(0) = [1 1]вх(2)=0и одновременно удовлетворит критеогао

1 i -

У (к) = минимум (10-109)

Определить оптимальную траекторию х (к) и оптимальное значение J.

Г. Определить область управляемых состояний для х(0) на плоскости состояний, для N = 2 при х(ЛО = О и ./1; /задано выражением (10-109) . Повторить решение для У<0,25.

Решение. А. Положив х(2) = О в решении уравнения (10-108) , можно показать, что оптимальное управление имеет вид

и(к) = -[1 0][А-1в А-2в]-1х(к) (10-110)

Следовательно, ,

и°(к)=[0,5 0,2]х(к) (10-111)

Оптимальная матрица обратной связи по состозшию имеет вид

G=[-0,5 -0,2] (10-112)

Х(2)

Х(0)

Рис. 10.1. Оптимальная траектория со- Рис. 10.2. Область управляемых состоя-

СТОЯИИЙ НИИ

Для заданного начального состояния может быть получено следующее решение

и{0) = 0,7 х°(1) =

и°(1) = 0,5 х°(2) =

Оптимальная траектория состояний показана на рис. 10.1.

Б. Управление при ограничении и(/с) < 1. ДляУУ= 2 уравнение переходных состоянии запишеМВ виде

х(2) = АхСО) + ЛЗи(О)-Ь Bu(l) = О (10.113)

Для X (0) из последнего уравнения получим

х(0) =

2 -0.8 О 2

и(0) и(1)

(10-114)

Вершины области управляемых состояний находим подстановкой четырех возможных комбинаций и{к) = I ии{к) = - 1 в уравнение (10-114). При зтом получим следующие результаты:

и(0) = -и(1) = 1 х(0) =

и(0) = и(1) = 1 х(0) =

и(0) = и(1) = -1 х(0) =

-1,2

-и(0) = и(1) = 1 х(0) =

-2 -2,8 2

Выпуклый многоугольник с этими четырьмя вершинами показан на рис. 10.2.

В. Для критерия качества (10-109) R = 1. Матрица W определяется с помошью выражения (10-98) дляЛ= 2:

= А-1ВВ(А-) + А-2вв(А-2) ~

4,64 -1,6 -1,6 4

(10-115)

J Оптимальное управление определяется

уравнением (10-106):

и°(к) = -B{A- )W-x(0) (10-116) Рис. 10.3. Области управляемых состояний