Следовательно, и (0) = 0,7 и и (1) = 0,5. Заметим, что данное решение идентично решению части (А) . Это объясняется тем, что поскольку N меньше или равно 2, решение для системы второго порядка в случае Х{ЛО = О является единственным. Оптимальный критерий качества

j° = ix(0)W-lx(0) = 0.37 (10-117)

Г. Для У < 1 получим

x(0)W-x(0) < 1 (10-118)

0.125x2(0) + O.lxCOXgCO) + 0,145х(0) < 1 (10-119)

Последнее выражение описывает эллипс в плоскости состояний. Области управляемых состояний для У 1 идляУ0,25 показаны на рис. 10.3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rozonoer, L. I., The Maximum Principle of L. S. Pontryagin in Optimal System Theory, Automation and Remote Control, Parts I, II, III, Vol. 20,1959.

2. Chang, S. 8. L., Digitized Maximum Principle, Proc. IRE, Vol. 48, December 1960, pp. 2030-2031.

3. Бутковский A. Г. О необходимых и достаточных условиях оптимальности для импульсных систем управления. - Автоматика и телемеханика, 1963, т. 24, 8, с. 1056-1064.

4. Katz, S., А Discrete Version of Pontryagins Maximum Principle, J. Electron. Control, Vol. 13, No. 2,1962, pp. 179-184.

5. Halkin, H., Optimal Control for Systems Described by Difference Equations, Advances in Control Systems, Chapter 4, C. T, Leondes, ed.. Academic Press, New York, 1964.

6. Sage, A. P., Optimum System Control. Prentice-Hiall, Englewood Cliffs, N.J., 1968.

ГЖВА п. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА

11.1. ВВЕДЕНИЕ

Одним из современных методов проектирования оптимальных систем управления, который находит широкое практическое применение, является метод синтеза линейного регулятора. При постановке задачи входные воздействия предполагаются нулевыми, а целью проектирования является поддержание состояний или выходных переменных вблизи положения равновесия. Условие нулевых входных воздействий не является строгим ограничением при проектировании, поскольку для результирующей сжтемы гарантируется устойчивость (на бесконечном интервале времени) и заданное затухание, так что на практике качество системы будет удовлетворительным, даже если входные воздействия отличны от нуля.

В дальнейшем вначале будет определен критерий качества для линейного непрерывного процесса с квантованием по времени, а затем - для полностью цифрового процесса.

Задача синтеза линейного цифрового регулятора может быть сформулирована следующим образом.

Пусть задана линейная система

i(t) = Ax(t) Bu(t) (11-1)

где x(t) - (иХ 1)-мерный вектор состояния; u(t) - (рХ 1)-мерный вектор управления, который удовлетворяет соотношению

u(t) = u(kT) кТ < t < (к 4- 1)Т (11-2)

Требуется найти оптимальное управление и° (кТ) для к = 1,2, ...,N- 1, которое минимизирует квадратичный критерий качества

J = i <x(tf),Sx(t )> +1 Г [<x(t),Qx(t)> 4- <u(t),Ru(t)>]dt

2 t . 2 (11-3)

где tf = NT; S и Q ~ симметрические положительно-гюлуопределенные матршД)! (nXn); R - симметрическая положительно-определенная матрица (рХр).

Прежде всего приведем систему (11-1) к дискретному вццу, переходя к разностному уравнению

х[(к 4- 1)Т] = ф(Т)ж(кТ) 4- е(Т)и(кТ) (11-4)

ф(Т)=еАТ (11-5)

е(Т)= Г 0(T-T)BdT (11-6)

критерии качества (11-3) также запишем в дискретном вице Jjj = <x(NT),Sx(NT)> + I N-1 / (к+1)Т

2? J [<s:(t),Qx(t)> + <u(t),Ru(t)>]dt (11-7)

Переходное уравнение состояния для системы (11-1) при t > кТ имеет ввд

x(t) = ф(1 - кТ)ж(кТ) + e{t - кТ)и(кТ) (11-8)

Тогда

s:(t) = x(kT)(t - кТ) -1- u(kT)e(t - кТ) (11-9)

Подстановка выражений (11-2), (11-8) и (11-9) в (11-7) дает Зщ = \ x(NT)Sx(NT) -I-1 N-1 .

+ Y: [(kT)Q(TMkT) + 2x(kT)M(T)u(kT) -f- u(kT)R(T)u(kT)]

где (11-10)

Q(T)= f*(t-kT)Q(t-kT)dt (11-11)

кТ

M(T).= r*(t-kT)Qe(t-kT)dt (11-12)

R(T) = /*[fl(t- kT)Qe(t- кТ) + R]dt (11-13)

с учетом свойств матриц Q и R ясно, что Q{T) является симметрической и положительно-гюлуопределенной; R (7) является симметрической и поло- жительно-определенной. Однако относительно матрицы М(Г) ничего сказать нельзя.

Теперь задача состоит в том, чтобы для заданной цифровой системы (11-4) определить оптимальное управление, которое минимизирует критерий качества (11-10).

В общем случае цифровая система может быть описана уравнением состояния типа (11-4) с самого начала, так что нет особого смысла в таком сложном критерии качества, как (11-10) , тем более не ясно, из каких соображений должна выбираться матрица М. Более естественно рассматривать следующий квадратичный критерий качества:

= I <x(N),Sx(N)> + \ Y [<s:(k),Qx(k)> + <u(k),Ru(k)>] ( 4)

к=0

где Q и R - весовые матрицы с определенными ранее свойствами, а период квантования Т опущен для упрощения записи.