11.2. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА (ЗАДАЧА С КОНЕЧНЫМ ИНТЕРВАЛОМ ВРЕМЕНИ)

Задача построения линейного цифрового регулятора, сформулированная в п. 11.1, может быть решена с использованием дискретного приыци-па максимума.

Цифровой процесс управления описьшается уравнением

х(к-И) = фх(к)-ь еи(к) (11-15)

при заданном х(0) . Цель проектирования состоит в определении и° (к) которое мишшизирует критерий качества

= i<x(N),Ss:(N)> + 1 N-1

-ь к X Ex(k),Qs:(k)> + <х(к), 2Mu(k)> -I- <u(k), Ru(k)> ] (11-16)

Запишем гамильтониан

Н(к) = Н[х(к),р(к + 1),и(к)] = I <х{к),Ож(к)> + <х(к),Ми(к)> -I-

-I- I <и(к), Ru(k)> + <р(к + 1),фж(к) + еи(к)> (11-17)

Необходимые условия существования экстремума для /уу имеют вцц

-= р°(к) = Qx-Ck) + фУ(к + 1) + Ми°(к) (11-18)

ъМ)

МОМ = мх°(к) + Ru°(k) + е р°(к + 1) = О (И-20)

Эй (к)

Поскольку в рассматриваемом сл5Д!ае значение х° (Л) не задано, )дчтем условие трансверсальности

9G[x(N),Nl Э 9x{N) 9x(N)

<x(N),Sx(N)>

= Sx(N)=p(N) (11-21)

Оптимальное управление находим из соотношения (11-20) :

и(к) = -R-1 [ер°(к +1}+ Мх°(к)] (11-22)

Подставляя последнее выражение в (11-18) и (11-19), получим канонические уравнения состояния

х°(к + 1)=(ф- eR-iM)x°(k) - eR-ep°(k 4- 1) (11-23)

{ф -MR-ieV(k + 1) = Р°(к) - (Q - MR-iMV(k) (11-24)

Они представляют собой 2п разностных уравнений, которые должны быть решены при известных граничных условиях х(0) к р° (N) - Sx° (Л/). Заметим, что уравнения (11-23) и (11-24) связаны через х° {к) и р° {к).

Они являются более общими по сравнению с уравнениями (10-89) и (10-90) , которые получены для простого кршерия качества. Поскольку в уравнение (10-89) не входит х° (/г) , его можно решать независимо.

Подобный метод не подходит для решения связанных канонических уравнений состояния (11-23) и (11-24) . Однако можно показать, что искомое решение имеет ввд

р(к) = К(к)х(к) (11-25)

где K(fc) - (и X и)-мерная матрица с неизвестными свойствами за исключением того, что при к= N, как следует из выражения (11-21) ,

K(N)=S (11-26)

Подставляя выражение (11-25) в (11-23) и перегругшировывая члены, ГЮЛ5Д1ИМ

х°(к +!)=[!+ ек-1еК(к + 1)] -(ф - ек-1м)х°(к) (11-27)

где предполагается, что матрица [I + ©R~€9K(A:+ 1)] имеет обратную матрицу. Аналогично, подставляя (11-25) в уравнение (11-24), имеем

{ф~ MR-ie)K(k-t- l)x°(k-h 1)= [К(к)-Q-ь MR-iM]x°(k) (11-28) Теперь подставим выражение (11-27) в (11-28) . В результате получим (0-MR-ie)K(k-b 1)[1-ь eR-ieK(k-b 1)]-1(ф-еЕ-М)х°(к) =

= [К(к) - Q MR-lM]x°(k) (11-29)

Для любого х° (К) должно выполняться следующее соотношение:

(ф- MR-ie)k(k + вквщ + 1)]-Чф - eR-M) =

= К(к) - Q + MR-% (11-30)

Это нелинейное матричное разностное уравнение относительно К{к) называется дискретным уравнением Риккати. Матрица К(А:) размерностью и X и известна как коэффициент Риккати. Граничное условие для уравнения Риккати задается выражением (11-26). В обшем случае уравнение (11-30) состоит из г? скалярных уравнений с тем же числом неизвестных злементов матрицы К (А:) . Однако в дальнейшем будет показано, что матрица К (Л) симметрична, так что имеется только п{п+ 1)/2 неизвестньгк.

Оптимальное управление определяется в результате подстановки выражения (11-25) в (11-22) -Таким образом, получим

и°(к)= -[I-h R-eK(k-f l)e]-iR-[eK(k-b 1)0-ь М]х(к) =

= -[R-t- ещкч- 1)е]-[ек(к-1-1)-1- м]х°(к) (11-31)

т. е. уравнение представалено в форме обратной связи по состоянию. Если M = 0,Q=QhR = R, уравнение Риккати принимает вид

фЩкч-1)[1-ь eR-eK(k+1)]-1ф-1-Q= К(к) (11-32)

Соответствуюшее оптимальное управление задается выраэ!<:ением

u°(k)=-[R-b еК(к-ь 1)е]-1еК(к-И)фх°(к) (11-33)

Перед обсуждением различных методов решения уравнения Риккати рассмотрим важные свойства этого уравнения и коэффициента Риккати К (А:).

Уравнение Риккати вцца (11-30) представлено в одной из многих эквивалентных форм, каждая из которых удовлетворяет оптимальному синтезу линейного дискретного регулятора. Как правило, специальная форма уравнения Риккати лучше всего подходит для данной цели.

Покажем вначале, что уравнение (11-30) эквивалентно следующей форме:

Щк) = фЩк-ь 1)<& -ь Q-

- [еК(к+ 1)0 4- M][R-t- еК(к-ь 1)е]-1[ек(к-ь 1)<!> + м] (11-34)

Эквивалентность двух уравнений (11-30) и (11-34) неочевидна. Чтобы показать это, докажем следующее тождество:

К(к 4- i) 4- eR-eK(k 4- 1)] -1 =

= К(к-ь 1)-К(к-к l)e[R-b eK(k-H)e]-ieK(k4 1) (11-35) Введем обозначение

Р = К(к 4- 1)[1 + вй-вЩк + 1)] (11-36)

Ушoжaя спр5ва обе части последнего выражения на [I 4- 0R0K(/c4-4- 1) ]0, получим

Fвй- [к + вЩк + 1)6] = К(к + 1)9 (11-37)

Теперь умножим обе части выразкения (11-37) справа на [R4- ©К (/с 4-4- 1)©] вК(А-4- 1) .Результат имеет вид

peR-eK(k + 1) = к(к4- i)etR + еК(к + 1)в]-в1Цк + i) (и-зз)

Соотношение (11-36) показывает, что левая часть последнего выра-хсек~я равна К(к + 1) - Р.Таким образом, загшшем (11-38) в следующем ввде:

P = E(k-h 1)-К{к4- l)e[R4 еК(к4- 1)в]-вК(к+ 1) (11-39) Сравнение вы ра>1<еиий (11-39) и (11-36) однозначно доказывает тождество (11-35) .Подставляя соотношение (11-35) в (11-30) ,получим

К(к) - Q 4- MR-M = (0 - MR-e) [К(к 4- 1) -

- К(к 4- 1)в [R 4- еК(к 4- 1)6] вЩк 4- 1)] (ф - еЙ-М) (11.40)

Последнее выражение может рассматриваться как еще одна форма дискретного уравнения Риккати. Преобразуем уравнение (11-40) , чтобы показать его эквивалентность уравнению (11-34) .

Перемножение членов в уравнении (11-40) дает

К(к) - Q 4- MR-M = (ф - MR-e)[K(k 4- 1)ф - К(к 4- l)eR-iM] -

-(0-MR-e)K(k4- i)e[R4- еК(к4- 1)в]-еЩк + ххф-ей-м)

(11-41)

К(к) - Q 4- МЙ-1М= фЩк 4- 1)0 - фЩк 4- l)eR-%- MR-leK(k 4- 1)0