X [R + еЕ(к + 1)в] -1 [вЩк + 1)0 - еЩк + l)eR-lMj (ii-42) Запшпем последний член в скобках уравнения (11-42) в ввде еЩк + - вЩк + 1)вЕ.-М = еЩк + 1)ф -

- [R -t- еЩк +1)6]й-Чг + М (, , з

Подставляя правую часть уравнения (11-43) в соотношение (11-42), получим

Щк) ~q+ МЙ-М = фЩк + 1)ф - фЩк + 1)вП-М -

- мк-ещк -1- 1)ф + мй-ещк + 1)ей--м - фЩк + i)e[R +

+ еЩк-ь-1>0]-1х [М+ вШк + 1)ф] + фК{к + 1)вк-м -

- мк-еЩк -1- 1)ей-м + мй-екск + гщй +

+ вЩк + 1)е] -1 [М - еК(к + 1)ф] (1 .щ

После сокращения подобных членов и преобразования последнего вдена уравнение (11-44) принимает вид

щк> - Q + мй-м = г-щк + 1)ф - ма-еЩк + 1)ф - Щк + 1)е[й + вЩк + 1)в] -1 [м + оЩк + 1)ф] -ь

+ MR-1 [еЩк + 1)е -ь Й - Й] [R + вЩк + 1)е] [М + вЩк + 1)ф]

(11-45)

Упрощая последнее выражение, окончательно rionjinw

Щк) = фЩк +1)ф + -- [ек(к-t- 1) + M][R + еК(к + i)e}- x X [еЩк + 1)0-f м] (11-46)

что полностью вдентично фавненокю (13-34) .

Следующие теоремы касаются свойств коэффициента Рнккати К(к) .

Торема 11.1. K.(fc) есть симметрическая матрица.

Доказательство. Транспонируя обе части уравнения Ржкати (11-46), получим

К(к)= 0К(к-1- 1)0 -f- Q-

- [еЩк + 1)0 +м][й+еГ(к+1)9]-ЧФЩкч-1)е + м]-

= 0K.fk + 1)0 + Q -

~ [еЩк+ 1)0 + Mi[R+ ек(к+ i)ei-i[eK(k + 1)0 + м] (11-47)

Поскольку уравнения (11-46) и (11-47) идентичны за исключением того, что K(fc) и К(А: + Т) заменены на К(/г) и iC(fc + 1) соответственно, они должны иметь одно и то же решение. Позтому

Щк)=К(к) (И-48)

Теорема 11.2. Критерий качества /дг (11-16) определен для кнтер-

вала времени [ О, TV], или для последовательности из Л шагов, если время не является независимой переменной. Определим черезДх(0] критерий качества на интервале от i до Л, или на последних Л - г шагах, т.е.

Jn-iW)] = <(N),Sx(N)>--

+ [<x(k),Qx(k)> + <х(к), 2Mu(k)> + <u(k), Ru(k)>] (11-49)

k=i Если i = О,

Jj[x(.0)] = Jj (11-50)

Если i = Л,

JoWN)] = <x(N),Sx(i > (11-51)

Последнее выражение представляет собой критерий качества только на последнем шаге.

Теорема утверждает, что

Mm Jpj.JxCi)] = I x(i)K(i)x(i) (11-52)

где К (г) - матричный коэффициент Риккати.

Доказательство этой теоремы приведены в п. 11.4 в процессе вывода уравншия Риккати на основании принципа оптимальности.

Теорема 11.3. Коэффициент Риккати К(к) положительно полуопределен для к = 0,1,2, ...,N.

Доказательство. Поскольку критерий качества /дг является квадратичной формой, он неотрицателен. С учетом выражения (11.52) коэффициент К(к) должен быть неотрицателен.

Замечания относительно управляемости, наблюдаемости и устойчивости. Для задачи линейного цифрового регулятора с конечным интервалом времени (/V- конечно) не требовалось, чтобы процесс бьш управляемым, наблюдаемым или даже устойчивым. Показатель качества /дг может иметь конечное значение при конечном N, даже если неуправляемое состояние неустойчиво. Цель синтеза с использованием квадратинного критерия качества состоит в перемещен системы из произвольного начального состояния х(0) как можно ближе к состоянию равновесия (к началу координат) , но само конечное состояние x(7V) не определено. Поэтому для конечных N устойчивость не является обязательной.

11.3. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА (ЗАДАЧА С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНТЕРВАЛОМ ВРЕМЕНИ)

Для бесконечного интервала времени, или бесконечного числа шагов Л= °°,критерий качества (11-16) принимает вид:

1 СО

-1=41 [<x(k),Qx(k)> + <х(к), 2Mu(k)> + <u(k),Ru(k)>] (11-53) к=0

в этом случае терминальная состакпяющая в критерии отсутствует, поскольку при бесконечном увеличении Лконечное состояние х (ЛО должно стремиться к нулю (положению равновесия) , так что в терминальном ограничении больше нет необходимости.

Важное требование при синтезе линейного регулятора на бесконечном интервале времени состоит в том, что замкнутая система должна быть асимптотически устойчивой. Система, описываемая уравнением (11-15), должна удовлетворять следующим условиям:

1) пара [ Ф, ©] должна быть либо полностью управляемой, либо стабилизируемой с помощью обратной связи по состоянию (необходимое условие);

2) пара [Ф,Щ должна быть полностью наблюдаемой, где D- матрица размерностью и X п, причем DD = Q (достаточное условие) .

Тогда решение задачи синтеза линейного цифрового регулятора на бесконечном интервале времени может быть получено путем подстановки к При N->°° матричный коэффициент Риккати К (/с) становится по-

стоянной матрицей, т. е.

lim К(к) = К. (10-54)

Заменяя В уравнении (11-34) К(/с + 1) и. К(/с) на К, получим установившееся уравнение Риккати

К = фКф -t- - (фКе + M)(R + вКв)-{вКф + и) (11.55)

которое часто называют алгебраическим уравнением Риккати. На основании (11-31) оптимальное управление имеет вцц

и°(к) = -(R + вКв)-(вКф + М)х°(к) (11-56)

В этом случае матрица обратной связи

G = (R + вKв)-(вKф + М) (11-57)

является постоянной.

Оптимальное значение критерия качества для N= непосредственно следует из выражения (11-52):

J°= х(0)Кх(0) (11-58)

Условия управляемости, стабютизируемости и наблюдаемости, введенные вьппе в пунктах (1) и (2) , требуют дальнейшего обсуждения.

Для регулятора на бесконечном интервале времени необходимо, чтобы процесс (11-15) бьш либо управляемым, либо стабилизируемым с помощью обратной связи по состоянию. Управляемость является более сютьным требованием, поскольку неуправляемая система, тем не менее может быть стабилизируемой, если неуправляемые состояния устойчивы. Однако тот факт, что система (11-15) является управляемой или сгаб№ лизируемой, еще не означает асимптотической устойчивости замкнутой системы, спроектированной на основе теории линейного оптимального ре-