гулятора. Оказывается, что условие наблюдаемости, сформулированное в пункте (2), также должно выполняться. Позтому управляемость и стабилизируемо сть являются необходимыми условиями, в то время как наблюдаемость пары [ф, d] служит достаточным условием. Следующие пример и теоремы являются дальнейшим развитием положений, вытекающих из требований управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости.

Пример 11.1. Рассмотрим цифровой процесс первого порядка

х(к + 1) = х(к) + и(к) (11-59)

Очевидно, что процесс является управляемым, неустойчивым, но стабилизируемым. При стационарной обратной связи по состоянию и {к) = - Gx (к) замкнутая система является асимптотически устойчивой, если 1 - G< 1.

Для синтеза линейного регулятора на бесконечном интервале времени выберем следующий критерий качества:

J = i Z u2(k) (И-60)

В рассматриваемом случае Ф = 1,0 = 1,О=0,М = 0иД = 1. Оптимальное управление (11-56), которое минимизирует J, принимает простой вцд:

u°(k) = -jx°(k) (11-61)

где К - постоянный скалярный коэффициент Риккати, который является решением уравнения Риккати [см. уравнение (11-55) ]:

Последнее уравнение имеет решение К= 0. Поэтому м° {к) = О для всех к, и замкнутая система не является асимптотически устойчивой.

в рассматриваемом случае при синтезе линейного оптимального регулятора не была получена асимптотически устойчивая система в связи с тем, что Q = О, т. е. переменная состояния не входит в критерий качества. Более того, данное состояние неустойчиво. Чтобы обеспечить контроль с помощью J засеми состояниями, достаточно условия положительной определенности матрицы Q. Однако в общем случае можно потребовать, чтобы параДф, D] была полностью наблюдаемой, где матрица D удовлетворяет условию DD = Q. Конечно, если Q положительно-определенная, всегда можно найти квадратную матрицу D, поэтому пара [Ф, D] всегда наблюдаема, шш имеет ранг п при любой матрице Ф.

Чтобы убедиться, насколько важна наблюдаемость пары [ф, D] при учете состояний в критерии качества /, рассмотрим только однородное переходное уравнение состояния

х(к) = 0(к)х(О) (11-63)

и выберем критерий качества в виде

J= f x(k)Qx(k) (11-64)

Подстановка уравнения (11-63) в (11-64) дает

J= f x(O)0(k)Q0(k)x(O) (11-65)

Из гл. 8 известно, что состояние х(0) будет наблюдаемо с помощью /, если матрица

X 0(кШк) к=0

является невыртовденной или положительно-определенной. Поэтому, полагая DD = Q, приходим к выводу, что пара [Ф, D] должна быть наблюдаемой.

Теорема 11.4. Если в критерии качества

J = I f [x(k)Qx(k) + u(k)Ru(k)] (11-66)

k=o

обе матрицы Q и R положительно-определенные, то и матрица К положительно-определенная.

Доказательство. Поскольку J - квадратичная форма, при положительно-определенных Q и R критерий качества J также положителен. Так как У и К связаны соотношением (11-58) , то и К, в свою очередь, положитель-но-определ енная.

Теорема 11.5. Если критерий качества цифровой системы (11-15) имеет вид

J= J f [x(k)Qx(k) + u(k)Ru(k)l (11.67)

k=o

где Q и R одновременно положительно-определенные, то оптимальное управление, минимизирующее J,

и°(к) = -(R + еке)-1еКфх°(к) (i \.щ

обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы

х°(к+ 1)= [0-e(R+еке)-1еК0]х°(к) (ij.69)

Доказательство. Как следует из теоремы 11.4, если обе матрицы Q и R положительно-определенные, К также положительно-определенная. Рассмотрим положительно-определенную функцию Ляпунова

V[x(k)] = I х(к)Кх(к) (11.70)

Тогда

ДУ[х(к)] = V[x(k + 1)1 - V[x(k)] =

= \ х(к + 1)Кх(к + 1) - I х(к)Кх(к) (11-71)

Подстановка уравнения (11-69) в (11-71) дает

ДУ1х(к)1 = I х(к)[0Кф - фКв(К + вКвувКф -f-

+ 0Ke(R+ еке)-еке(Е+ вшувщ -

-Фке(Е+еке)-еК0-к]х(к) (ii-72)

Для рассматриваемовеслучая уравнениеРиккатиимеет вид -

К = Q + фКф - фКв{К + вШ)-вКф (11-73)

Используя уравнение (11-73) , упростим соотношение (11-72):

Q- фКв{К+ вКвувЩф - eiR +

ДУ[х(к)] = х(к)

+ вКвГвКф]

х(к) (11-74)

Поскольку обе матрицы Q и К положительно-определенные выражение внутри скобок в правой части соотношения (11-74) отрицательно-определенное. Поэтому ДК[х(/с)] - отрицательная величина, и в соответствии с георемой устойчивости Ляпунова система (11-69) асимптотически устойчива.

ПА. ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ

И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Синтез линейного оптимального цифрового регулятора, рассмотренный в предьщущих параграфах, может проводиться на основе принципа оптимальности. Процедура синтеза, в которой использован принцип оптимальности, называется также методом динамического программирования. Сформулируем вначале принцип оптимальности.

Принцип оптимальности. Оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каковы бы ни бьши начальное состояние и управление на начальных шагах, дальнейшее управление должно быть оптимально по отношению к состоянию, являющемуся следствием предшествующего управления. Другими словами, любая стратегия управления, которая оптимальна на интервале [i, N], обязательно является оптимальной на интервале [/+ l,N] для/= 0,1,2, ...,N- 1.

Сформулируем еще раз задачу синтеза линейного оптимального цифрового регулятора.

Найти оптимальное управление и (/с), /с = О, 1, 2, N - 1, такое, чтобы

Jj = G[x(N)] -f X Fkf*) ) = минимум, . (11-75)

G[x(N)] = x(N)Sx(N) (11-76)

FJx(k),u(k)] - I x(k)x(k) + x(k)Mu(k) + I u(k)Ru(k) (11-77)

при условии ограничения x (/с - 1) = Фх(/с) - 0u(/c) и при заданном х(0).

Обозначим через ./дг,[х (/)] критерий качества на интервале [i, N], т. е. на последних N - / интервалах, или шагах. Тогда

N-iMi)] = G[x(N)] + ь[х(к),и(к)] i= 0,1,2,...,N (И-78) k=i