Таблица 11.2

[Ф, 0 ] ПОЛНОСТЬЮ управляема и можно найти такую матрицу D размерностью 2X2, что DD = Q, и па [Ф, D] является наблюдаемой, замкнутая система при Л=°° будет асимптотически устойчивой.

Метод собственных значений и собственных векторов. Нелинейное разностное уравнение Риккати (11-102) можно решить с использованием метода собственных значений и собственных векторов. Метод дает замкнутую форму решения для коэффициента Риккати, а решение алгебраического уравнения Риккати может быть получено с помощью предельного перехода.

Перепишем канонические уравнения состояния (11-23) и (11-24) в следующем виде:

х°(к +1)= Пх°(к) -ек-1ер°(к -ь 1) р°(к)= Гх°(к)+ Пр°(к+ 1)

(11-124) (11-125)

П = 0-еК-1м (11-126)

r=-MR-lM 01-127)

Определяя х°(/с) из уравнения (11-124) и записывая канонические уравнения состояния в векторно-матричной форме, получим

(11-128)

П-1 n-iflR-e гп-1 SI+ то.-в.-в

(11-129)

Уравнение (11-128) представляет собой 2 разностных уравнений в обратном времени с граничными условиями х (0) = Xq и р {N) = Sx {N).

Важное свойство матрицы V состоит в том, что величины, обратные каждому собственному значению, также являются собственными значениями. Это можно показать на примере собственного значения X матрицы V и соответствующего собственного вектора h. Воспользуемся определением собственного вектора:

Vh=Xh (11-130)

Разделим h на части так, чтобы последнее уравнение приняло вид

1 а-Чк-

(11-131)

Запишем определитель матрицы V

д = + го.-вв.-в)-о.-гп-ао.-Чй-в\ =

= \П-П\= in-4inl= 1 (11-132)

Таким образом, определитель V равен единице.

Вычисляя матрицу, обратную V, и затем транспонируя ее, получим следующий результат:

(v-iy

(11-133)

Смысл последнего уравнения состоит в том, что X является собственным значением и матрицы (V~), и матрицы V~. Поэтому 1/Х есть собственное значение матрицы V. Это также означает, что п собственных значений V расположены внутри единичной окружности и - вне ее. Введем невырожденное преобразование

х°(к) Р°(к)

q(k) г(к)

где W имеет форму

11 12

21 22 и обладает тем свойством, что Л О

(11-134)

(11-135)

(11-136)

При различных собственных значениях Л имеет вид диагональной матрицы с элементами Х; по главной диагонали, где Xj - собственные значения матрицы V, которые расположены вне единичной окружности. При комплексно сопряженных собственных значениях V матрица Л представляется

в модальной форме. Пусть, например, и - действительные собственные значения матрицы V, которые расположены вне единичной окружности, тогда запишем соотношение (11-136) в виде

(11-137)

Если матрица V имеет комплексно-сопряженные собственные значения ffi + /coi и ffi - fWi, расположенные вне единичной окружности, тогда соотношение (11-136) принимает вид

w-ivw =

(11-138)

a-, + JCO.

(11-139)

Конечно, если матрица V имеет и действительные, и комплексные собственные значения, следует использовать комбинацию соотношений (11-137) и (11-138).

Записывая теперь выражение (11-134) в виде

q(k) г(к)

х°(к)

и используя соотношение (11-128), получим

q(k) г(к)

= w-vw

q(k + 1) r(k + 1)

q(k + 1) r(k + 1)

(11-140)

Рекуррентное решение последнего уравнения в обратном времени с граничным условием [q{N)tiN)] Дает

(11-141)

Приведем выражение (11-141) к виду