Так как p{t) = 1 для О < ? <р, то соотношение (2-37) принимает вид

n/o *=S?Vr- (2-38)

Используя хорошо швесшое тригонометрическое соотношение, запишем р sin(ncjgP/2) -jnp/2 <=n = т (no.p/2) (2-39)

Подставляя соотношение (2-39) в выражение (2-35), имеем в р sin(nojp/2) -jnc.p/2 jnc.t

f P>tJ. nc.p/2 e . . (240)

Подстановка p (0 из (240) в (2-33) дает

f*(t)= I C f(t)e * (241)

где C определяется из соотношения (2-39).

L, Преобразование Фурье сигнала fp*{t) может быть получено в виде

Fp*(ja;)=5?[f*(t)] =j* f*(t)e *dt (242)

вде 7 - операция преобразования Фурье. Используя теорему о смещении преобразования Фурье в области комплексной переменной, которая утверждает, что

7 [e *f(t)] = F(joj - jnoj) (243)

соотношение (2-42) может быть записано как

Е Fp*(joj)= Z C F(joj - jnoj) (244)

Еоотношению (244) можно придать иную форму:

Fp*(ja;)= 5 C F(ja;-I-jnco) (245)

где п изменяется от ~°° до +°°.

Важность рассмотрения операции квантования в частотной области иллюстрируется следующим исследованием соотношения (245).

Определим коэффициент ряда Фурье в соотношении (2-39) при/7 0:

► Со = ИтС = (246)

В соотношении (245) возьмем только член, соответствующий п = 0:

F*(joj) = CoF(joj) = I F(jco) (247)

* n=0 *

Последнее выражение иллюстрирует важное свойство: гармоники, содержащиеся в непрерывном входном сигнале f(t), представлены и в выход-

ном сигнале квантователя / * (t), однако их амплитуды отличаются в

Для пФО коэффициент С является комплексной величиной, но его модуль может быть записан в виде

sin(nco р/2)

Модуль Fp* (/со) равен

IFp*(MI =

(248)

(249)

Частотный спектр последовательности единичных импульсов p{t) представляет, собой зависимость коэффициентов ряда Фурье С в зависимости от со, когда п принимает различные целые значения от -°° до +°°, Амплитудный спектр С показан на рис. 2.34, а. Видно, что амплитудный спектр С не является непрерывной функцией; он представлен равностоящими спектральными линиями при со = исо для = О, ± 1, ± 2,.... Огибающая спектра описывается правой частью соотнощения (2-49).

Это соотнощение можно записать также в форме

IFp*(ja;)l< 5 lC IIF(jco+jna;,)l (2-50)

которая может быть использована для иллюстрации амплитудного спектра Fp* (jco). Предположим, что амплитудный спектр непрерывного входного сигнала имеет форму, как показано на рис. 2.34, б. Тогда на основании соотнощения (2.50) спектр Fp* (/со) будет иметь вид, показанный на рис. 2.34, в. Следует заметить, что \Fp*(fco) содержит не только основную составляющую F(/co), но и транспонированные составляющие F(jco + jncog), =±1, ±2,....

Для получения п-тл транспонированной составляющей выходного спектра необходимо умножить F(/co) на соответствующий коэффициент ряда Фурье С и сдвинуть его на со, = ± 1, ± 2, ± 3,.... Следовательно, квантователь можно представить как генератор гармоник, выход которого содержит основную составляющую и все транспонированные составляющие с соответствующими весовыми коэффициентами, отстоящие друг от друга на частоту квантования. Основная полоса частот передает всю информацию, содержащуюся в непрерывном входном сигнале. Эта же информация повторяется в боковых полосах частот, причем амплитудный спектр каждой боковой полосы определяется весовым коэффициентом - модулем соответствующего коэффицента ряда Фурье С . Частотный спектр для Fp* (/со) , показанный на рис. 2.34, в, получен при условии, что частота квантователя со превыщает более чем в 2 раза высщую частотную составляющую сигнала f{t), т.е. со > 2сОс. Если со < 2сос, то частотный спектр Fp* (/со) I будет искажаться вследствие наложения гармоник.

На рис. 2.34, г показано, что если со < 2сОс, спектр \F (jco) в основной полосе частот мало похож на спектр исходного сигнала. Следовательно, теоретически исходный сигнал может быть восстановлен с помощью

2ж Р. /

Р -тг Р

-6ш,

и). 2(0с

\FU)\

II I 1 I Ь)

/ I I \

Юс (Ос 6)

\Fp(/ui)\

-бы.

6)

-SCO,

-2bJs

2%

Рис. 2.34. Амплитудные спектры входных и выходных сигналов для квантователя с конечной шириной импульсов:

о - спектр последовательности единичных импульсов р (Г); б - спектр непрерывного входного сигнала ; в - спектр выходного сигнала квантователя (ojj > > 2tJc) ; г - спектр выходного сигнала квантователя (toj < 2tj(.)

идеального полосового фильтра из спектра, показанного на рис. 2.34, в, тогда как восстановление исходного сигнала из спектра, показанного на рис. 2.34, г, невозможно из-за наложения транспонированных составляющих.

Явление перекрытия высокочастотных составляющих основной составляющей частотного спектра квантованного сигнала иногда называют наложением.

Требование, чтобы частота со была по крайней мере в 2 раза больше высшей частотной составляющей сигнала /(0> известно под названием импульсной теоремы, которая в общем виде представлена в п. 2.8. Частоту Ws/2 иногда называют граничной. В действительности большинство сигналов в системах управления не могут быть представлены в виде ограниченного спектра, как показано на рис. 2.34, б, поэтому эффект наложения