Пусть r(N) Hq(N) связаны соотношением r(N) = Uq(N)

где и - матрица размерностью пХп. Подставляя соотношение в выражение (11-142) и (11-134), для/с = Лполучим

и = -(22 - SWi2) (W2i - SWi)

r(N - к) = A-UA-q(N - к)

Обозначая

Н(к) = А-UA- запишем выражение (11-145) в виде

r(N - к) = H(k)q(N - к)

Подставляя теперь выражение (11-147) в (11-134), можно что справедливы следующие соотношения:

x(N-k)= [Wji + Wi2H(k)]q(N-k)

(11-142)

(11-143) (11-143)

(11-144) (11-145)

(11-146)

(11-147)

показать,

(11-148)

p(N-k)= K(N-k)x(N-k)= [Wgi + W22H(k)]q(N-k) (11-149)

Сравнивая два последних соотношения, запишем коэффициент Риккати следующим образом:

K(N-k) = [W21 + W22H(k)] [Wji + Wj2H(k)]- (11-150)

Хотя выражение (11-150) дает решение разностного уравнения Риккати в замкнутой форме, в общем случае из-за трудности вьиисления матрицы W и собственных значений V метод собственных значений и собственных векторов не имеет очевидных преимуществ перед рекуррентным методом. Однако рассматриваемый метод приводит к непосредственному решению алгебраического уравнения Риккати для задачи с бесконечным интервалом времени.

Вводя замену переменных i = N~k, вместо K(N-k) получим К (г), г = О, 1,2, ...,Л-1, т. е. коэффициент Риккати, использованный в предыдущих параграфах. Запишем постоянный коэффициент Риккати в виде

К = Urn K(i) = Ит K(N - к)

Поскольку

lim Н(к) = lim A-UA = О

из выражения (11-150) получаем

К = lim K(N - к) = WgWfJ

(11-151) (11-152) (11-153)

Пример 11.4. Рассмотрим снова систему первого порядка из примера 11.2. С помощью метода собственных значений и собственных векторов необходимо решить задачу с конечным интервалом времени, кроме того, задачу для N=°°.

Подставляя параметры системы в выражение (11-129), получим

1 1 1 2

(11-154)

Собственные значения матрицы V равны: Xj = 2,618 и Х2 = = 0,382. Запишем матрицу

(11-155)

Поскольку матрица W обеспечивает преобразование подобия, столбцами W являются собственные векторы V. Поэтому

*11 *12 *21 *22

(11-156)

1,618 -0,618 Из соотношения (11-144) следует

и = -(-0,618-10)1(1,618-10) = -0,789 (11-157)

а выражение (11-146) дает

Н(к) = Л-иЛ = -0,789(0,382)2 (11-158)

Коэффициент Риккати для задачи с конечным интервалом времени

K(N - к) = [1,618 - 0,618(-0,789)(0,382)2] [1 - 0,789(0,382)2] (11-159)

КО) = [1,618 + 0,488(0,382)2(N-i)][i о,789(0,382)2(->)]-1 (11-160)

Легко показать, что этот результат совпадает с тем, который бьш получен в примере 11.2 для Af=10.

Для N = °° постоянный коэффициент Риккати описывается выражением (11-153):

K = W2iWi\ = l,6l8 (11-161)

Пример 11.5. Полезно рассмотреть возможности метода собственных значений и собственных векторов применительно к системам более высокого порядка. Вернемся к системе второго порядка из примера 11.3,

Запишем матрицу

(11-162)

Собственные значения матрицы V равны: Xi = aj ± /СО; - 0,743 ± /1,529 и Хг -= 1/Х, ± /СО2 ~ 0,257 ± /0,529. Эти собственные значения образуют комплексно-сопряженные пары, одна из которых расположена вне единичной окружности, а другая - внутри нее. Для рассматриваемого случая имеем

0,743 -1,529

1,529 0,743

. J.

0,257 0,529

-0,529 0,257

(11-163)

Известно, что при данной матрице коэффициентов + jcoj О

(11-164)

собственные векторы которой обозначены через Щ +jlit и tti -fPi, собственные векторы модальной формы

1 1

(11-165)

равны tti и /3j. Для матрицы модальной формы (11-138) находим матрицу W с использованием действительных и мнимых частей собственных векторов, соответствующих собственным значениям матрицы \V~* VW. Отсюда

0,318 0,053

-0,053 -0,182

-0,107

-0,636

-0,765

-0,5 -0,371

-0,743 1

0,529 О

(11-166)

где 1 + fPi и 012 + /Рг - собственные векторы + /cOi КО2 + /СО2 соответственно. На основании выражения (11-144) получим

0,108 0,635 -0,174 0,894

(11-167)

аН(А:) опишем соотношением (11-146). Тогда нестационарный коэффициент Риккати К (Л-А:) определяется на основании соотношения (11-150). Очевидно, что процесс решения требует громоздких операций с матрицами и даже для системы второго порядка необходима ЭВМ.

Решение задачи с бесконечным интервалом времени легко находится из выражения (11-153). Поэтому для Л=°°имеем

К-W2iWjl -

-0,107 -0,636

0,318 -0,053 0,053 -0,182

3,308 -0,972 -0,972 3,780

(11-168)