что совпадает с результатом, полученным рекуррентным методом [см. уравнение (11-123) ]. Подчеркнем еще раз, что замкнутая система при Л = °° будет асимптотически устойчивой.

11.6. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ по ОТНОШЕНИЮ к ПЕРИОДУ КВАНТОВАНИЯ

Специфические свойства дискретного уравнения Риккати требуют анализа чувствительности системы с оптимальным цифровым регулятором по отношению к периоду квантования Т, если модель системы описьшается уравнениями (11-1) и (11-2). Знание чувствительности по отношению к периоду квантования дает возможность приближенно определить постоянный коэффициент Риккати К для задачи линейного регулятора на бесконечном интервале времени по известному коэффициенту для непрерьшной системы, т. е. при Г = 0. В итоге оказывается возможным приближенно вычислять матрицу коэффициентов усиления обратной связи G оптимального линейного цифрового регулятора через матрицу обратной связи непрерьшного оптимального линейного регулятора. Заметим, что исследование чувствительности к периоду квантования применительно к синтезу оптимального линейного цифрового регулятора позволило решить задачу переоборудования систем управления на базе ЭВМ, описанную в гл. 5. Поэтому в данном параграфе мы вновь вернемся к этой задаче, но с других позиций.

Обратимся к постановке задачи синтеза линейного цифрового регулятора, содержащейся в уравнениях (11-1) - (11-3). В п. 11.2 бьшо показано, что оптимальный цифровой закон управления имеет вид [см. уравнение (11-31)]

и°(к) = -[R + еЩк +Т)е]- [еЩк + \)ф + м]х°(к) =

= - G(k)x°(k) (11-169)

где К (Л) - положительно-полуопределенное решение уравнения Риккати [ см. уравнение (11-34) ]:

Щк) = фЩк -И)0 + Q -

- [ещк+ ш + M][R+ еЩк 4-1)61-1 [еЩк +1)0 + м] (п-ш)

с граничным условием К (/у) = S.

Прибавим и вычтем К{к+\), а затем разделим обе части последнего уравнения на Г и после преобразований получим

К(к + 1)-Щк) 0К(к -ь 1)0 - Щк + 1) + Q . Т Т ~~

М + 0К(к -I- 1)е

fe-h ещк-ь 1)е т

еК(к + 1)0 + м т

(11-171)

Можно показать, что при уменьшении периода квантования до нуля уравнение (11-171) принимает вид

K(t) = АЩ1) + Щ1)А + Q = Щ1)ВН-1ВЩ1)

(11-172)

Это уравнение известно как дифференциальное уравнение Риккати для. непрерывного линейного оптимального регулятора, где К(?) - коэффициент Риккати. Оно соответствует непрерывному управляющему воздействию и(0 в системе (11-1).

Для бесконечного интервала времени tf=°°

К(к) = К(к +1) = К(Т) (11-173)

где для обозначения установившегося значения коэффициента Риккати вместо К используется К (7), чтобы показать зависимость коэффициента от Т. Для бесконечного интервала времени уравнение (11-171) превращается в алгебраическое уравнение Риккати

фК(Т)0 - К(Т) + Q Т

м + 0К(Т)е

R + еК(Т)е

(11-174)

(11-175) (11-176)

При стремлении Г к нулю последнее уравнение принимает вид К(0)А + АК(О) -Ь Q = K(0)BR-iBK(0)

К(0) = lim К(Т)

является также установившимся решением дифференциального уравнения Риккати (11-172).

Из этого следует, что оптимальная матрица обратной связи цифроврго регулятора на бесконечном интервале времени может быть записана следующим образом:

G(T) =

(11-177)

При Т = 0 соответствующая оптимальная матрица обратной связи для непрерывного регулятора имеет вцц

G(0) = lim G(T) = R-BK(O)

Т->0

(11-178)

Анализ чувствительности матрицы коэффициентов Риккати по отношению к периоду квантования. Разложим установившееся решение уравнения Риккати К(7) в ряд Тейлора в окрестности Г=0:

К(Т) = К(0) -t- I

gK ЭК(Т)

(11-179)

(11-180)

определяется как чувствительность К (7) i-го порядка по отношению к периоду квантования. Предполагается, что бесконечный ряд (11-179) сходится на интервале [ О, Т.]. В большинстве практических задач для аппроксимации К (7) допустимо использовать только несколько членов ряда. В

дальнейшем определяются чувствительности К(7) первого и второго порядка. Для упрощения обозначений подразумевается, что все частные производные вычисляются при Т=0.

Для удобства введем следующие обозначения;

X(T) = №i K(TI±A ( .181)

Х(0) = Итп Х(Т) = К(0)А + АК(О) + Q (11-182)

У(Т)М+да)е (11.183)

Y(0) = lim Y(T) = К(0)В (11-184)

ZT)=tm (11-185)

Z(0) = R (11-186)

С учетом этого оптимальный коэффициент усиления обратной связи (11-177) имеет простой вид

G(T)= Z-(T)Y(T) (11-187)

а дискретное уравнение Риккати (11-174) описьшается выражением

Х(Т)= Y(T)Z-(T)Y(T) = Y(T)G(T) (11-188)

Для определения чувствительностей первого порядка выражения (11-187) и (11-188) дифферешдаруются по Г и затем определяются значения производных при Г=0. В результате получим

эта R-1 ЭЩ) ШХ j iB.K(0) (11-189)

эх(Т) dY(T) T,-iR.K/o)

= К(0)В+к BK(0) (11-190)

где 3G(7)/97*- i-я производная от G(7) no T, вычисленная при 7 = 0; она называется чувствительностью G(7) г -го порядка по отношению к периоду квантования.

Частные производные от Х(7), Y(7) и Z(7) по Г можно найти соответственно из выражений (11-181), (11-183) и (11-185) с использованием разложения Ф= е в соотношениях (11-6), (11-11) - (11-13) в бесконечный ряд при отбрасывании членов выше третьего порядка по Т. При этом получаются следующие результаты:

ЩП = А< ffi- + А -ь 1 AK(0)BR-lBK(0) .

-ь-k(0)BR-1bK(0)A (11-191)

= В -ь I [АК(О) + K(0)BR-1bK(0)]B (11-192)

= (11-193)