нсвырождена, пара [Ф,0] для любой матрицы DD =Q является наблюдаемой. Таким образом, задача синтеза линейного оптимального цифрового регулятора для системы (11-218) имеет асимптотически устойчивое решение.

Обычно эта задача решается с помощью записи дискретного уравнения Риккати (11-30) или (11-34) и определения из него К (Г) . Тогда оптимальное управление описывается выражением (11-56). Поскольку в рассматриваемом случае период квантования Т не задан, было бы трудно решить уравнение Риккати как рекуррентным методом, так и методом собственных значений и собственных векторов.

Решим задачу с использованием метода, omicaHHoro в этом параграфе. Так как нам потребуются матрицы К(0) и G(0), необходимо вначале решить задачу синтеза оптимального линейного непрерывного регулятора. Уравнение Риккати в этом случае имеет вид (11-175) и при подстановке параметров системы упрощается следующим образом:

k2(0) = Q =

2 -1 -1 2

Отсюда

K(0) = i

\ + уД 1-\/з 1-V3 1+V3

(11-219)

(11-220)

Оптимальный коэффициент усиления обратной связи определяется выражением (11-178), откуда получаем

G(0) = R-IbK(O) = к(0) (11-221)

Чувствительность К (7) первого порядка по отношению к периоду квантования всегда равна нулю. Чувствительность второго порядка дК(Г)/дТ определяется с помощью решения уравнения (11-210) для П, которое принимает вид

(11-222) (11-223)

-2К2(0) -1- 2К(0)П + Q = О Из уравнения (11-222) имеем

1-1-V3 1-V3 1-лД 1+у/З Подстановка П в выражение (11-207) дает

1 + ЗлД 1-V3 1 - 3V3 1 -I- ЗлД

Таким образом, аппроксимация второго порядка для К (7) имеет вид .2 a2j

К(Т)-К(0)-Ь? =

1+2

1 + 2

1 *1-2 48

у/3 , л/ЗТ

(11-224)

(11-225)

(11-226) (11-227)

Решая уравнение Риккати (11-174), можно показать, что точное значение коэффициента Риккати

К(Т) =

d,-d2

(11-228)

2 1 + 12

(11-229) (11-230)

V3 , Узт 2--2 +~8~

Подставляя приближенное выражение для К (Г) (11-225) в соотношение (11-177), получим (последлинных матричных преобразований)

G(T)-i

1 + 2

24 + 12Т + 1 24 + 24Т + ST +

8n/3 -И2Т + УЗТ2 2 8 + 83 Т + 8т + лДт

(11-231)

(11-232)

(11-233)

Другой способ состоит в аппроксимации С(Г) первыми тремя членами ряда (11-212). Из выражения (11-221) следует, что С(0) = К(0). Чувствительность С(Л первого порядка определяется выражением (11-194) :

♦ г

ЭО(Т) 1 ЭТ 2

(11-234)

-2 1 1 -2

Чувствительность G(7) второго порядка определяется из соотношения (11-205):

ЭС(Т) 5

1 + 3V3 1 - 3v

1-ЗчД 1 + Зч/3

(11-235)

Таким образом, аппроксимация С(Г) конечным числом членов ряда дает

2 й2г

G(T)s.G(0) + T5em+ =

i+T-.(l + 3v) 1 + 1+13 (l 3V3) i+J+(l-3V3) l± + T + (l + 3v)

(И 236)

Точное значение матрицы обратной связи определяется с помошью подстановки точного выражения для К(7) (11-228) в соотношение (11-177). В результате получим

G(T) =

gl-gg gi + g2

T,2 .1 + 12

2 1 + 32

1/2 2 t2

(11-237)

(11-238)

g2 =--

l + y/ЗТ

+ ЗТ

,2 1 + Т

- (11-239)

+ т2

Чувствительность к периоду квантования и переоборудование систем управления на базе ЭВМ. Возникновение задачи переоборудования систем управления на базе ЭВМ, рассмотренной в гл. 5, явилось следствием анализа чувствительности коэффициента Риккати и оптимальной матрицы обратной связи по отношению к периоду квантования. В гл. 5 задача пере-оборудованрш на базе ЭВМ решалась с помощью последовательного сравнения в моменты квантования переходных процессов по состоянию в непрерывной и дискретной системах. Метод, рассмотренный в п. 11.5, непосредственно приводит к иному способу решения задачи переоборудования систем управления, основанному на чувствительности к периоду квантования.

С- использованием обозначений, принятых в этой главе, проблема переоборудования систем управления на базе ЭВМ может быть сформулирована следующим образом: имеется непрерывная система (11-1) с оптимальным законом управления

u(t) =-G(0)x(t) (11-240)

который минимизирует критерий качества (11-3) при tf= °°. Оптималь-шя матрица коэффициентов усиления обратной связи описьшается выражением (11 -178), а именно:

G(0)= R-iBK(O) (11-241)

где К(0) - положительно-полуопределенное решение уравнения Риккати (11-175).

Приближенно опишем рассматриваемую систему (11-1) цифровой моделью, в которой управляющее воздействие и (г) формируется устройством выборки и хранения:

u(t) = u(kT) кТ < t < (к + 1)Т (11-242)

Задача состоит в определении оптимального закона управления с обратной связью по состоянию

и(кТ) =-G(T)x(kT) (11-243)

который минимизирует дискретный показатель качества (11-7) npuN=°o.

Сформулируем кратко результаты, приведенные в п. 11.5. Разложим коэффициент обратной связи цифровой системы в ряд Тейлора в окрестности Г=0 и с учетом только первых трех членов получим

С,т,= С,0,.тМШ,§ (П.244)

где g(0) описывается выражением (11-241). Из соотношений (11-194) и (11-205) соответственно находим

= 1g(0)[A-BG(0)] .25