Э СтК-1в,Э КШ+ 1g(0)[A-BG(0)]2 (11-246)

где dK(7)/d7 определяется из уравнения (11-206).

Сравнивая эти результаты с результатами, полученными в гл. 5, отметим, что первые два члена ряда Тейлора для g(7) в обоих случаях совпадают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dorato, Р., and Levis, А. Н., Optimal Linear Regulator: The Discrete-Time Case, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-16, December 1971, pp. 613-620.

2. Юе1птап, D. L., Stabilizing A Discrete, Constant, Linear,System With Application to Iterative Methods for Solving the Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-19, June 1974, pp. 252-25

3. Vaughan, D. R., A Nonrecursive Algebraic Solution for the Discrete Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-15, October 1970, pp. 597-599.

4. Howerton, R. D., A New Solution of the Discrete Algebraic Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-19, February 1974, pp. 90-92.

5. Lainiotis, D. G., Discrete Riccati Equation Solutions: Partitioned Algorithms, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. АС-20, August 1975, pp. 555-556.

6. MoUnari, B. P., The Stabilizing Solution of the Discrete Algebraic Riccati Equation, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-20, June 1975, pp. 396-399.

7. Molinari, B. P., The Stabilizing Solution of the Algebraic Riccati Equation, SIAM Journal on Control, Vol. 11, May 1973, pp. 262-271.

8. Payne, H. J., and Silverman, L. M., On the Discrete Time Algebraic Riccati Equation, IEEE Trans on Automatic Control, Vol. AC-18, June 1973, pp. 226-234.

9. Caines, P. E., and Mayne, D. Q., On the Discrete-Time Matrix Riccati Equation of Optimal Control, International J. on Control, Vol. 12, November 1970, pp. 785-794.

10. Hewer, G. A., An Iterative Technique for the Computation of the Steady-State Gains For the Discrete Optimal Regulator, IEEE Trans on Automatic Control, Vol. AC-16, August 1971, pp. 382-384.

11. Hewer, G. A., Analysis of a Discrete Matrix Riccati Equation of Linear Control and Kalman Filtering, ,/. Math. Analysis and Applications, Vol. 42, April 1973, pp. 226-236.

12. Cadzow, J. A., Nilpotency Property of the Discrete Regulator, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-13, December 1968, pp. 734-735.

ГЛАВА 72.ЦИФРОВОЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ

12.1. ВВЕДЕНИЕ

Значительная часть теории оптимального управления цифровыми системами базируется на использовании обратной связи по переменным состояния. К сожалению, на практике не все переменные состояния доступны для измерения, и, как правило, измеряются только выходные переменные системы. Поэтому, если требуется обратная связь по всем переменным состояния и не все они доступны для измерения, необходимо восстанавливать эти состояния по информации, содержащееся во входных и выходных переменных. Подсистема, которая осуществляет восстановление переменных состояния, основанное на измерениях входных и выходных переменных, называется наблюдателем состояния, или просто наблюдателем. На рис. 12.1 изображена структурная схема цифровой системы управления с наблюдателем состояния. Восстановленный вектор состояния Xg (к) используется для формирования управляющего воздействия и (к) с помощью матрицы обратной связи G. Из рис. 12.1 следует, что управляющее воздействие описьшается соотношением

и(к) = Ег(к) - Gxjk)

(12-1)

Выясним вначале условия, определяющие возможность построения наблюдателя. Следующая теорема показывает, что проектирование цифрового наблюдателя состоянрш тесно связано с критерием наблюдаемости.

Теорема 12.1. Рассмотрим линейную цифровую систему, которая описьшается следующими уравнениями динамики:

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (12-2)

с(к) = Dx(k)

(12-3)

где х(к) ,и(к) и с(к) - соответственно п,рк q-мерные векторы. Предполагается, что матрица А является невырожденной. Вектор состояния х(к) может быть определен как линейная комбинация выходной с(к), вход-

Г(Л)

Х(А-г)=Ах(л)->-Ви(л)

С(к)

Хе(К)

Наблюдатель состояния

Рис. 12.1. Линейная цифровая система с наблюдателем и обратной связью по состоянию

ной \i(k) и предшествующих значений этих переменных, если цифровая система полностью наблюдаема.

Доказательство. Уравнение (12-2) может быть записано в виде

х(к-1)= А-1х(к)-А-1Ви(к-1) (к>1) В общем случае

х(к - п) = А-1х(к - п + 1) - А-Ви(к - п)

В соответствии с (12-3) запишем с(к - 1) = Dx(k - 1) (к > 1) Подстановка уравнения (12-4) в (12-6) дает

с(к - 1) = DA-ix(k) - DA-lBu(k - 1) (к > 1)

По аналогии *

с(к - 2) = Dx(k - 2) =

= DA-2x(k) - DA-2Bu(k - 1) - DA-lBu(k - 2) Продолжая эту процедуру, получаем

с(к - N) = DA-Nx(k) - f DA-N-lBu(k - i) i=l

Запишем эти уравнения в матричной форме:

(к > п)

(к> N)

(12-4) (12-5)

(12-6)

(12-7)

(12-8) (12-9)

da-b

(12-10)

Данное матричное уравнение содержит Nq уравнений с п неизвестными компонентами вектора состояния \(к). При Nq > п известных управляющих воздействиях и выходных переменных вектор \(к) может бьггь найден из уравнения (12-10),если матрица

[DA-1 DA-2 ... DA-] (NqXn) (12-11)

имеет ранг п. Очевидно, что ограничение на ранг матрицы (12-11) совпадает с критерием наблюдаемости пары [А, D] для N= п.

При определенных условиях уравнение (12-10) имеет единственное решение относительно вектора состояния х{к). Если Nq = п, матрица (12-11) становится квадратной и, если она невырождена, вектор х(к) может быть определен для к> Nc помощью измерения N предшествующих значений выходной и входной переменных.