Юг \ л,СА; / \ Рис. 124. Изменения состояния цифровой

Y < < / I К / I \ I системы и наблюдателя

ч,о1 \ / \-/ \-

Исследуем влияние начальных состоя-Щ /-л / НИИ и взаимное влияние этих двух

д I / I \ I-/-I \ I I систем с помощью z-преобразования

4 в, 10 72 к уравнений (12-25) и (12-26). После

переобозначения членов уравнения имеют вид

(12-27) (12-28)

(zl - A)X(z) = zx(0) + BER(z) - BGXg(z) (zl - A + BG + GgD)X(z) = zXg(O) -I- GDX(z) + BER(z)

Вычитая (12-28) из (12-27), при x(0) =Xe(0) получим:

(zl - A + GgD)X(z) = (zl - A + GD)XJz) (12-29)

Таким образом,

x(k) = xJk) (12-30)

и уравнение (12-27) принимает вид

(zl - А -I- BG)X(z) = zx(0) + BER(z) (12-31)

Этот результат показывает, что при х(0) = х (0) динамика исходной системы не зависит от динамики наблюдателя. Однако в общем случае переходный процесс исходной системы при х(0) Ф \g (0) будет определяться наблюдателем.

Вьиитая уравнение (12-26) из (12-25), получим

х(к -I- 1) - х(к -I- 1) = (А - GD)[x(k) - xJk)] (12-32)

откуда видно, что при заданных А и D свободное движение х{к) - Xg (к) зависит только от Gg. Позтому проектирование наблюдателя для системы с матрицей обратной связи по состоянию G может по-прежнему вьшол-няться на основе размещения собственных значений А-GgD. Единственное отличие состоит в том, что при х(0) Ф Xg{0) на реакцию системы х{к) будет влиять динамика наблюдателя из-за наличия обратной связи по Хе (к) через матрицу G. В следующем примере рассмотрены характеристики системы совместно с наблюдателем из примера 12.1 с учетом обратной связи по состоянию.

Пример 12.2. Рассмотрим цифровой процесс из примера 12.1 с оптимальной матрицей коэффициентов обратной связи, полученной в примере 11.3:

G = [-0.654 0.486] (12-33)

НаЪц&шая в примере 12.1 матрица коэффициентов обратной связи цифрового наблюдателя, обеспечивающая апериодическую реакцию х (fc) - Xg (fc) , имеет вид

0.5 О

(12-34)

Таким образом, для r(fc) = О запишеК(с учётом (12-23) и (12-26) уравнение состояния цифровой системы с обратной связью и наблюдателем

х(к -I-1)

хк -I-1)

A-BG-GgD

х(к)

xjk)

О 1 -1 1

1 О

О о

0.654

-0.486

-1 -0.346

0.514

х(к)

xjk)

(12-35)

На рис. 12.5 представлены изменения переменных состояния xi (fc) и (к) при (0) = еО) > что эквивалентно отсутствию наблюдателя. Процесс в исходной системе с наблюдателем также представлен на рис. 12.5. Как было показано выше, динамика наблюдателя оказывает влияние на переходный процесс системы. При выбранных начальных состояниях Xg (к) принимает значение х (fc) после двух периодов квантования.

Синтез с помощью сопряженной канонической формы фазовой переменной. Поскольку синтез наблюдателя, представленный выше основан на размещении собственных значений замкнутого наблюдателя, то для этой цели можно использовать преобразование к канонической форме фазовой переменной, описанное в п. 4.13. Рассмотрим только системы с одним входом и выходом.

Сформулируем снова задачу синтеза наблюдателя. Состояния, которые необходимо восстановить, описываются уравнением состояния

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (12-36)

где х(к) - и-мерный вектор; и (к) - скалярная входная переменная. Управляющее воздействие определяется с помощью обратной связи по состоянию, M(fc) = - Gx{к) , а уравнение выхода имеет вид

с(к) = Dx(k) (12-37)

где с (к) - скалярная выходная переменная; D - матрица размерностью 1 X и. Динамика наблюда- 7,0

теля описывается соотношением [ см. уравнение (12-13)]

xjk + 1) = (А -

- GD)x(k) + Bu(k) -I-

-I- Gc(k) (12-38)

Рис. 2.5. Переходные процессы в цифровой замкнутой системе с наблюдателем

x,(/f) асковная система

-7,0

Исходная замкнутая система представлена уравнением

х(к + 1) = (А - BG)x(k) (12-39)

Известно, что если пара [А, В] полностью управляема, то собственные значения А - ВС могут располагаться произвольно с помощью соответствующего выбора элементов матрицы обратной связи G, В п. 4.16 было показано, что если пара [ А, В] управляема, А и В могут быть преобразованы в каноническую форму фазовой переменной вида (4-295) и (4-296). Тогда каждый из элементов матрицы обратной связи зависит только от одного коэффициента характеристического уравнения. Как следует из уравнения (12-38), при синтезе наблюдателя по заданным собственным значениям возникает подобная задача. В зтом случае собственные значения А - GgD должны быть размещены определенным образом с помощью соответствующего выбора элементов матрицы обратной связи Gg. Поскольку собственные значения А - GgD совпадают с собственными значениями (А - GgD) = А - DGg, можно провести параллель между системой с матрицами коэффициентов А, В, G и системой с матрицами А, D, Gg. Заметим, что предпосьшкой произвольного задания собственных значений наблюдателя является полная управляемость пары [ А, ЕУ] , что эквивалентно наблюдаемости [А, D], т. е. требованию, которое бьшо сформулировано вн. 12.1.

Вначале нужно преобразовать уравнения наблюдателя к так называемой сопряженной канонической форме фазовой переменной. Необходимость этого преобразования вызвана тем, что представление матрицы коэффициентов в форме А - DGg позволяет вьщелить элементы матрицы обратной связи в коэффициентах характеристического уравнения. Эта матрица соответствует системе с уравнением состояния вцца

у(к -ь 1) = Ау(к) + Dv(k) (12-40)

v(k) = -G;y(k) (12-41)

у(к -Ы) = (А - DG;)y(k) (12-42)

Необходимо преобразовать уравнения наблюдателя (12-38) в следующую форму:

у(к + 1) = (Aj - KDi)ye(k) + Biu(k) + Кс(к) (12-43)

где Ai имеет размерность иХ и, Kg, Bj - размерность иХ 1, Dj - размерность 1 Хи. В общем случае и(к) не обязательно должна быть скалярной входной переменной, поскольку матрица В, не будет входить в уравнения, используемые при синтезе. Искомое преобразование имеет вид

Уе(к) = Pxjk) (12-44)

где Р - невырожденная матрица. Тогда

Ke = PG,= [ki \ ... (12-45)