= DP-l =[0 0 ... 1]

= PB

(1246) (12-47)

(12-48)

Таким образом, система с матрицами коэффициентов А, и В, представляет собой сопряженную каноническую форму фазовой переменной, поскольку эти матрицы являются соответственно транспонированными матрицами А и В канонической формы фазовой переменной. Окончательно имеем

Характеристическое уравнение преобразованного наблюдателя, описываемого уравнением (12-43) , имеет вид

1X1- Aj + KDj= X + (а -I- к )Х -1 + ...+

+ (a -i + ke2) + K + l)=0 (12-50)

Поэтому все элементы матрицы обратной связи содержатся только в соответствующих коэффшщентах характеристического уравнения. Для определения матрицы Р положим

(12-51)

где Р; - матрица-строка размерностью lXn,i= 1,2,...,п.Подставляя выражение (12-51) в (12-48).получим

AjP = РА=

Из соотношения (12-46) следует, что DjP = D= [О О ... 1]Р = Р Тогда уравнение (12-52) принимает вид

Из последило уравнения получаем Р , = a,D+ DA

n-1 1

P -2 = 2D+P -iA =

= a D -I- a, DA + DA

(12-53)

(12-54)

(12-55) (12-56)

P2 = V2D + а .зВА a,DA -3 + дд.

P = a iD + a .2DA + ... -1- аОА - -t- DA !

(12-57) (12-58)

Объединив соотношения (12-53) и (12-55) - (12-58) , запишем матрицу P

в виде

(12-59)

Следует подчеркнуть, что коэффициенты 1, Дг. -, п-1 определяются последним столбцом матрицы А, [ см. уравнение (12-48) ]. Однако еще более важно, что эти коэффициенты находят из характеристического уравнения матрицы А, которое имеет форму

X + аХ -! + а2Х -2 -I- ... -I- а Х + а = О

(12-60)

Описанный метод сопряженной канонической формы фазовой переменной можно применять к системам с несколькими выходами. Предпо-

ложим, что в уравнении (12-37) с(к) теперь есть -мерный вектор, а D-матрица размерностью qXn. Поскольку изменение переменных состояния наблюдаемой системы не влияет отрицательно на ее наблюдаемость, можно преобразовать уравнения состояния к следующей форме:

u(k)

(12-61)

где все А/, г = 1,2, g, представлены в сопряженной канонической форме фазовой переменной (12-48) .Уравнение выхода преобразуется к виду

с(к) =

У(к)

(12-62)

где Ц-, / = 1, 2, q, представлены в форме матрицы-строки (12-46).

Используем задачу синтеза наблюдателя из примера 12-2 для иллюстрации метода сопряженной канонической формы фазовой переменной.

Пример 12.3. Для цифрового процесса, описанного в примерах 12.1 н 12.2, запишем характеристическое уравнение матрицы А:

1Х1-А =

X -1 1 Х-1

= Х X -1- 1 = о

(12-63)

Сравнивая уравнения (12-60) и (12-63), видим, чтой1--1 исг = 1. Сопряженная

каноническая форма фазовой переменной для А имеет виц

Для апериодической реакции Xg (л) - х(/с) из уравнения (12-50) находим е2 = - 1 = 1

Таким образом, -1

Ке =

Матрица преобразования Р определяется из соотношения (12-59) :

(12-64)

(12-65)

(12-66)