Матрица обратной связи наблюдателя находится с использованием (12-45) :

G, = P-4 =

(12-67)

что совпадает с результатом, полученным выше [см. уравнение (12-34) ].

12.3. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ СОСТОЯНИЯ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

В предьщущих параграфах рассматривалась методика синтеза наблюдателя полного порядка. Другими словами, порядки наблюдателя и системы совпадали. В общем случае, поскольку q выходных переменных являются линейными комбинациями п переменных состояния, необходимо восстанавливать не более п - q состояний. Эта идея реализуется в наблюдателе пониженного порядка. Так как в системе, описанной в примере 12-1, с (Л) = 2xj (А ) , фактически можно определить Xi {к) непосредственно по результату измерения с {к) без какого-либо наблюдателя. В этом случае необходим наблюдатель только первого порядка. Однако следует отметить, что при определении q переменных состояния непосредст-всипо по вь1ХОду системы имеется меньше возможностей в обеспечении требуемой динамики наблюдателя пониженного порядка.

Принцип действия наблюдателя пониженного порядка иллюстрируется структурной схемой па рис. 12.6. Этот наблюдатель имеет порядок, равный п - /.Компоненты н-мерного вектора состояния Xg (Л) образуются из п - q восстанавливаемых состояний в виде вектора Wg (к) и -мерного вектора выхода с{к).

Наблюдатель пениженного порядка может быть спроектирован с ис-пользовшшем принципа преобразования к сопряженной канонической форме фазовой переменной. Рассмотрим вначале систему с одним выходом и одним входом:

х(к ч- 1) = Ах(к) -I- Ви(к) (12-68)

c(k)=Dx(k) (12-69)

которая является управляемой и наблюдаемой. Система преобразуется к сопряженной канонической форме фазовой переменной

у(к+ 1)= Ajy(k)+ B,u(k)

(12-70)

Преобразобание

Цифровая система

Наблюдатель пониженного порядка

Рис. 12А. Цифровая система с наблюдателем пониженного порядка

где Al = PAP описывается выражением (12-48), а В, = РВ. Уравнение выхода преобразуется к виду

с(к) = Оу(к) , (12-71)

у(к) = Рх(к)

Dj = DP-l =[0 0 ... 1]

(IXn)

(12-72)

Наблюдатель полного порядка для системы (12-68) и (12-69) описывается уравнением

х(к + 1) = (А - GD)xJk) + Bu(k) + Gc(k) (12-73)

где Gg - (к X 1) -мерная матрица обратной связи наблюдателя. Наблюдатель полного порядка для системы, представленной в сопряженной канонической форме фазовой переменной (12-70) и (12-71), описывается уравнением

yjk -1- 1) = (Aj - KDj)yJk) + Bju(k) -1- Кс(к) (12-74)

где Kg - (к X 1) -мерная матрица обратной связи наблюдателя. Поскольку Di имеет форму, удовлетворяющую соотношению (12-72), это означает, что с (к) = у (к) , так что необходимость в восстановлении у {к) отпадает. Чтобы восстановить оставшиеся (и- 1) состояний у(fc) и иметь возможность произвольно размещать собственные значения, положим

1 О О 1

О -а О -а

п-1 п-2

Q = Тогда

0 0.

о о . 1 о о 1

о о о о

1 -а.

(п X п)

(12-75)

О а О Q

(12-76)

Заметим, что QQ = I (единичная матрица) . Положим

Ag = QAjQ-l =

1 О о 1

п-1

п-2

-а + а,а

-п 1 п-1

-°l°n -V2 +3l°n

(12-77)

0 0 0 0

-af - a + a, a

-aj -t- aj

(12-78) (12-79)

(12-80) (12-81)

Преобразуем теперь систему с переменными состояния у (fc) к следующей системе

w(k-l- 1)= A2w(k)-l- B2u(k)

с(к) = D2W(k) где\у(/:) = Qy(fc).

Матрица Аг определяется соотнощением (12-77) , а Вг = QBj ,и

D2 = DjQ-l =[0 0 ... 1]

Наблюдатель, восстанавливающий w(fc) ,.имеет форму

wjk + 1) = A2W(k) -1- B2u(k) + LD2[w(k) - wjk)]

Поскольку описывается соотнощением (12-80), получаем с (к) = - wij(fc), т. е. п-я компонента вектора состояния w(fc) является выходной пер сменной ,.5 так что ее не нужно восстанавливать. Поэтому Wg (fc) = w (fc) и

LD2[w(k)-wJk)] =0 (12-82)

Уравнение (12-81) принимает вид

wjk-1- 1) = A2wjk) + B2u(k) (12-83)

Теперь основная цель состоит в преобразовании наблюдателя (12-81) в наблюдатель (и - 1) -го порадка с возможностью в то же время произвольно располагать его собственные значения. Уравнение (12-83) представим в следующем виде:

(12-84) и(к)

Таким образом, наблюдатель (и - 1) -го порядка описывается уравнением

w(k -1- 1) = AwJX) + Е2с(к) -1- B2u(k)

А =

Е =

О О

(12-85)

(12-86)

1 -а.

а -1- а, а.

1 2

иВг - [ (и- 1) X 1]-мернаяматрица.

(12-87)