Поскольку матрица Аг представлена в сопряженной канонической форме фазовой переменной, ее последний столбец состоит из коэффициентов характеристического уравнения:

М - А I = -I- а,Л 2 -t, а Х

2,- -V , .j,v ,. 2 + + <п-2 + n-l = О (12-88) Если восстанавливаемый вектор пониженного порядка Wg {к) определен, то Wg {к) описывается соотношением

w(k) =

с(к)

(12-89)

Тогда

хЛк)= (QP)-iwfk)

(12-90)

что представляет собой искомое преобразование, которое показано на рис. 12.6.

Эффективность наблюдателя пониженного порядка анализируем далее путем сравнения восстановленного состояния Wg (к) с действительным состоянием w(fc) . Вычитая уравнение (12-83) из (12-78) , получим

w(k + 1) - w(k + 1) = A2[w(k) - w(k)] (12-91)

Поскольку w {k) = c(fc) = vvg (fc), последнее соотношение преобразуется к вццу

w(k + 1) - Wg(k + 1) = А2 [w(k) - w (к)] (12-92)

Таким образом, динамика приближения Wg (к) к w(fc) определяется собственными значениями матрицы Аг . Поскольку преобразование (12-90) не является динамическим и Wg (fc) = c(fc), процесс восстановления (и - 1) переменных состояния вектора х{к) также зависит от собственных значений А 2.

Пример 12.4. Рассмотрим еше раз цифровой процесс, описанный в примере 12-1. Предположим вначале, что система является разомкнутой. Уравнение состояния имеет вцд

х(к + 1) = Ах(к) -I- Ви(к)

(12-93)

Уравнение выхода удовлетворяет соотношению с(к) = Dx(k) = [2 0]х(к)

(12-94)

Задача состоит в синтезе наблюдателя первого порядка для рассматриваемой системы. Матрица Р, преобразующая А в сопряженную каноническую форму фазовой перау1енной, описывается выражением (12-66) . Запишем матрицу Аг [см. уравнение (12-77) ] для системы второго порядка в виде

А2 =

32 + ajuj

-aj+aj

(12-95)

где ai и 32 - коэффициенты характеристического уравнения матрицы А, т. е.

1М-А = х2-Х+1 = 0 (12-96)

Таким образом, в соответствии с уравнением (12-60) ai =jl и а2 = 1. Коэффициент ai берется из характеристического уравнения матрицы Аг, которое имеет ввд

X -1- = О

(12-97)

Преобразованный наблюдатель пониженного порядка описывается соотношениями

Wg(k -f- 1) = A2W(k) -1- Е2С(к) -1- B2U(k)

Wg(k) = [Wg(k) c(k)l 2 = - !

(12-98) (12-99)

Eg = -Q - a2 + aa = -a ~ 1

B2 = 2

Чтобы получить апериодический переходный процесс для ошибки наблюдателя, положим коэффициент CCi равным нулю. Уравнение (12-98) примет ввд

w(k +1) = -с(к) + 2и(к) (12-100)

Диаграмма состояния для системы с наблюдателем первого порядка представлена на рис* 12.7. Для произвольных начальных состояния х(0) и giO) можно показать, что Xg (А) принимает значение X(А) приА;> 1.Длях(0) =[1 0],We(0) = = 0,5 и м(А) =0 при всех к в табл. 12.1 представлены значения переменных состояния системы для к <5.

Рис. 12.7. Наблюдатель пониженного порядка и разомкнутая цифровая система

Таблица 12.1

Рис. 12.8. Наблюдатель пониженного порядка и замкнутая цифровая система

Рис. 12.9. Переходные процессы в цифровой замкнутой системе с наблюдателем состояния пониженного порядка

-0,5 -1.0

1.0 0.5

-0,5 -1,0

.,d s 7 е н

в замкнутой системе и(к) - - Gxg(A:), где матрица обратной связи G описывается выражением (12-33) . Подставляя соотношения (12-99) , (12-90) и выражение для управления в уравнение (12-100) , получим

W (k-l-l) = -c(k)-2GxJk) =

= -2xi{k) + [1,308 -0,972]

Xj(k)

0,5w(k)-l-xi(k)

(12-101)

w(k + 1) = -l,664xj(k) - 0,486wjk) (12-102)

Уравнения состояния цифровой системы (12-93) с учетом обратной связи по состоянию имеют вцд

Xi(k-И) = Х2(к) , (12-103)

Х2{к + 1) = -0,832xi(k) -( XgCk) - 0,243wjk) (12-104)

На рис. 12.8 представлена диаграмма состояния замкнутой системы с наблюдателем первого порядка.

Чтобы получить переходные процессы для х (А) и Wg (А) , А = 1,2, ....необходимо решить уравнения (12-102) - (12-104) при заданных начальных условиях х (0) =[ 1 0] и v%(0) = 0.5. Восстановленные состояния Xg(A:) определяются из выражения (12-90), а именно:

Mk) = WeW =

хЛк)

0.5Wg{k) Ч- Xj(k)

(12-105)