будет иметь место, даже если частоту квантования сделать больше грарич-ной частоты. Физический смысл эффекта наложения и его влияние на характеристики цифровых систем управления будут рассмотрены ниже.

Преобразование Фурье сигнала ft), (fco), определяемое, соотношением (2-44) или (245), весьма полезно для иллюстрации эффектов квантования в частотной области. Оба выражения показывают, что преобразование Фурье проквантованного сигнала fp*(t) может быть получено сдвигом аргумента преобразования Фурье F(fco) непрерывного во времени сигнала f(t) на величину-/ncoj и умножением его на С . Однако выражения для F (/со) не удобны для аналитического исследования, так как представлены в виде бесконечных рядов.

Альтернативное описание квантованного сигнала fp* {t) в области изображений можно получить с помощью теоремы о свертке в преобразовании Лапласа. Преобразование Лапласа для fp *(t) [см. соотношение (2-33) ] запишем в виде

Fp*(s)=uf[f*(t)] =uf[f(t)p(t)] (2-51)

где буква JL означает операцию преобразования Лапласа. Соотношение (2-51) можно записать в виде

Fp*(s) = F%) * P(s) (2-52)

где символ * означает операцию свертки в преобразовании Лапласа; F{s) iiP(s) - изображения по Лапласу функций f{t) яр (t), соответственно.

Определим сначала изображение по Лапласу функции р (t). Подвергнем преобразованию Лапласа обе части соотношения (2.31), тогда

Суммирование в выражении (2-53) начинается при /с = О, так как одностороннее преобразование Лапласа определяется для 0<t<°°. Бесконечный ряд в (2-53) можно записать в компактной форме

1 - е-Р

Подставляя P(s) из последнего уравнения в выражение (2-52), получим

Ер*( ) = * (ТТ (2-55) Из теоремы свертки следует, что

Fp*(s) = 2/ F(?)P(s - )d (2-56)

Тогда, используя выражение (2-54), соотношение (2-55) можно представить в виде

c+j- I e-p(s-E)

1 r*

P 2;Je-j (s-)[l-e-(-E)l (2-57)

где I - переменная интегрирования; Cj < с < а- Oz; а>max(ai ,02,01 + + 02); о - действительная часть х: Oj и Oj - абсциссы абсолютной сходимости функций F(?) и/С?),соответственно. Частично интеграл в выражении (2-57) берется вдоль прямой линии от = с - / до ? = с + / 0° на комплексной -плоскости (рис. 2-35).

Интеграл в выражении (2.57) может быть определен интегрированием по контуру, образованному линией от = с-/о°до = с+ /°°и полуокружностью бесконечно большого радиуса, охватываюшей правую или левую часть -плоскости. Значение контурного интеграла может быть вычислено с помощью теоремы вычетов теории функций комплексной переменной. Другими словами, выражение (2-57) может быть записано в виде

1 - e-P( -S) 2-J ir./(s-0[l-e-r(-t)] ~

(2-58)

2-F*(s)

1 л 1 - e-P(s-f)

- p-P(s-f)

1 e-P(s-{)

(s-?)ri-eT(s-t)] 1 - eP**-*)

dS -

(2-59)

(s-)[l-e-T(-t)] где Fi и Г2 - замкнутые контуры, включающие левую и правую часть 1-плоскости, соответственно. Оба контура показаны на рис. 2.35.

S-ППОСКОСГПб

C+Joo

C-joa

Рис. 2.35. Контуры интегрирования в правой и левой частях -плоскости

Для того чтобы иепользовать теорему о вычетах, необходимо исследовать полюсы и нули функций и P(s - %). Обычно полюсы F{i,) расположены в левой части -плоскости или на мнимой оси и их число конечно; функция/(s- ) имеет простые полюсы

= S + -- -= S + JniOg, ~°°<п (целое) < °°, (2-60)

где Т - период квантования; coj - частота квантования. Из выражения (2-60) следует, что число полюсов P(s-- ) бесконечно, и они расположены на -плоскости вдоль прямой Re () = Re (s) с интервалами псо (и = = О, ±1, ±2, ...). Типичное расположение полюсов F{) iiP(s~ ) показано на рис. 2.35. Если функция F{) имеет число полюсов хотя бы на один больше, чем нулей, т.е.

limF()=0 (2-61)

ТО вторые члены в правой части выражений (2-58) и (2-59) равны нулю, поскольку интегралы вдоль полуокружностей бесконечного радиуса исчезают. Тогда уравнение (2-58) принимает вид

Из теоремы о вычетах следует, что значение контурного интеграла (2-62) равно сумме вычетов подынтегральной функции, определенных в тех ее полюсах, которые попадают внутрь замкнутого контура Fi. Следовательно,

F*(s)= 2;Res[F(0 -- .-] в полюсах F(s). (2-63)

Если предположить, что F(0 является рациональной функцией с к простыми полюсами, то выражение (2-63) примет вид

= inn- Г -T(s-, )1 (2-64)

Ш (2-65)

(2-66)

DU ) =

- п-й ПОЛЮС F(); п = 1,2,... к. Предположим, что F() - рациональная алгебраическая функция, имеющая к различных полюсов Si, $2, ... , s, причем s имеет кратность И2 , л = 1,2,...,/с, 772 > 1. Тогда