13 J. ОГРАНИЧЕНИЯ МИКРОПРОЦЕССОТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Аналитическое и теоретическое исследования цифровых систем управления, проводимые в этой книге, предполагают, что ЭВМ рассматривается беэ физических ограничений. Известно что в физических системах и элементах имеются практические ограничения, такие, как насыщение, зона нечувствительности, гистерезис и др , которые оказывают существенное влияние на качество систем управления. При использовании микропроцессора проектировщик системы должен принять во внимание конечную длину слова и временные задержки, возникающие при выполнении рабочих инструкций. Как конечная длина слова микропроцессора влияет на качество системы управления, так нелинейность квантователя и временные задержки влияют на выбор цифрового закона управления - все эти вопросы будут изучены ниже.

Представляемый материал даст возможность читателю почувствовать, какой круг вопросов возникает при внедрении микропроцессорных систем управления, и что можно сделать с этими неизбежными трудностями.

13.4. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ СЛОВА

НА УПРАВЛЯЕМОСТЬ И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОЛЮСОВ

ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Так как микропроцессоры оперируют с ограниченной длиной слова, то, вообще говоря, сигналы на входе и выходе микропроцессора будут усеченными или квантованными; параметры закона управления будут округлены при реализации последнего в процессоре с помощью рабочей программы. Следовательно, необходимо исследовать влияние этих эффектов на качество системы, когда параметры системы могут быть реализованы только конечным набором чисел.

В гл. 9 был рассмотрен метод синтеза цифровых систем управления по расположению полюсов замкнутой системы. Синтезируемыми параметрами являются коэффициенты обратной связи по состоянию или по выходу. Бьшо показано, что при синтезе по заданному расположению полюсов, если система полностью управляема, полюсы замкнутой системы могут быть расположены произвольно. Однако, если коэффициенты обратной связи не представляют произвольного набора чисел, это означает, что полюсы замкнутой системы не могут принадлежать открытой области. Другими словами, если параметры обратной связи могут быть реализованы только конечным набором чисел, то любое начальное состояние может быть приведено только к ограниченному числу конечных состояний за конечное время. Следовательно, уместно заметить, что в строгом смысле определения управляемости цифровая система не может быть управляемой, если она оперирует со словом конечной длины при наличии квантования, она не может быть управляемой. Однако с практической точки зрения, если уровни квантования малы, не следует обращать чрезмерное внимание на проблемы управляемости. Гораздо важнее то, что ограничение на значения параметров системы приводит к ошибкам системы и проблемам

устойчивости, которые являются прямымследствием квантования по амплитуде.

Для исследования эффекта квантования управляющего входа рассмотрим систему

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (13-8)

где и{к) - скалярный вход. Предположим, что и{К) ограничено квантованным набором величин, т. е.

и(к) = nq

где ИД; = 0,1, 2,q - шаг квантования по уровню. Решение уравнения (13-8) есть

x(N) = ах(О) + Y А--Ви(к) к=0

(13-9)

(13-10)

Подстановка выражения (13-9) в (13-10) дает

x(N) = Ах(О) + q Y А-к-1Вп

Так как и{К) ограничено определенными уровнями ка,то конечное состояние xiN) является параметрической функцией целых чисел щ,к = = О, 1, 2, ...,N- 1. Если пара [А, В] управляема, то х(0) может быть переведено в любую точку x(N) в пространстве состояний только в том случае, если и{к) может быть выбрано из-континуума значений. Однако так как и(к) ограничено квантованными значениями, то x(Л) также ограничено. Следуюший пример иллюстрирует проблему управляемости, обусловленную эффектом квантования в цифровых системах управления.

Пример 13.1. Рассмотрим цифровую систему управления, описываемую уравнениями состояния

х(к -И) = Ах(к) + Ви(к) (13-12)

а и(к) подвергается квантованию по амплитуде с шагом квантования q. Переходное уравнение состояния для системы (13-12) есть

x(N) = А%0) + X А--1ви(к) (13-13)

aN =

(-1)N+1(N-1)

(-I)Nn

(-1)V+1)

Так как пара [ В АВ] полностью управляема, вектор А~~В можно выразить в виде линейной комбинации двух векторов В и АВ. Для рассматриваемого случая можно показать, что

дК-к-1в = (-l)N-k-2[(N - к - 2)В -1- (N - к - 1)АВ] (13.15)

(13-14)

Рис. 13.4. Реализуемые состояния х, (к) и Xj (к) при квантовании по амплитуде состояний и управлений

: ; ; ; fli ; ; ;

x{N) = Ах{0) + nqB + HgqAB = Ах{0) -I- nq

Поскольку вектор А ~ ~ В линейно и интегрально зависит от В и АВ, можно записать выражение (13-13) kzk

(13-16)

где к 1 и 2 - целые числа, aq - шаг квантования.

Выражение (13-16) показывает, что в любой момент замыкания А: = Лвеличины xi(N) и Х2 (ЛО могут принимать только дискретный набор значений. Для любого заданного начального состояния х(0) набор достижимых состояний Xi(k) и Х2 (к) расположен через интервалы q в плоскости (xi, jcj,- как показано на рис. 13.4.

Когда параметры обратной связи по состоянию или обратной связи по выходу реализуются на микропроцессоре, они являются квантованными по уровню. Это означает, что если синтез проводится по расположению полюсов, то полюсы замкнутой системы не могут быть расположены на z-плоскости чисто произвольно. Влияние квантования на расположение полюсов иллюстрирует следующий пример.

Пример 13.2. Рассмотрим цифровую систему х(к -I-1) = Ах(к) + Ви(к)

(13-17)

u(k) = -Gx(k) (13.18)

G=[gi ggl (13-19)

Значения gi и g2 квантованы с шагом q. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как

zI-A-bBG = z2-bg2Z + gi ={z-rj)(z-r2) = 0 (13.20)

где ri ИГ2- собственные значения замкнутой системы. Тогда

G=[gi g2] = [ ir2 -( 1 + 2)1 (13 21)

На рис. 13.5 показана область устойчивости в плоскости параметров gi, g2 для случая представления коэффициентов обратной связи gi и g2 в форме с фиксированной запятой и длиной слова 3 бит. В этом случае шаг квантования

q = 2-3 = 1/8 (13-22)

Реализуемые значения gi к g2 обозначены точками, причем показаны только значения, соответствующие устойчивой замкнутой системе.

Полезно исследовать реализуемость полюсов замкнутой системы при квантовании и g2 - Пусть корни уравнения (13-20) представлены в полярных координатах

Z, = reJ

Z2 = re-

(13-23) (13-24)