СЯ в зависимости от входных данных и используемых подпрограмм, что приведет к максимальной и минимальной оценкам общего времени вычислительной процедуры.

Для пояснения случайного характера временной задержки рассмотрим слздай сложения двух чисел с плавающей запятой. Прежде всего необходимо определить, какое из двух чисел имеет больший порядок. После этого меньшее число преобразуется к виду с тем же порядком. Это преобразование может потребовать различного времени, и после его вьшолнения числа могут быть сложены. Очевидно, что два числа с одинаковым порядком можно сложить быстрее, чем два числа, для которых необходимо преобразование порядка. Более того, для сложения двух чисел с большой разностью в порядках, может потребоваться еще большее время. Вместе с тем, если одно из чисел есть нуль, то может быть реализован досрочный выход из программы, на что потребуется минимальное время по сравнению со временем в рассмотренных вьнпе случаях.

В общем на действия с числами, представленными в форме с фиксированной запятой, требуется меньше процессорного времени, поэтому такой форме представления чисел отдается предпочтение при практической реализации цифрового регулятора. Например, типичное время сложения чисел с фиксированной запятой равно 2 мкс.

Итак, временные задержки определяются выполнением рабочей программы. Поскольку большинство микропроцессоров являются медленными цифровыми устройствами, при моделировании цифрового регулятора этими задержками пренебрегать нельзя. Хорошо известно, что временные задержки обычно оказывают неблагоприятное влияние на характеристику замкнутых систем как аналоговых, так и цифровых, поэтому ясно, что они обязательно должны быть учтены при проектировании цифровых систем управления.

13.6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ. НАИМЕНЬШИЙ ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ

В предыдущих параграфах этой главы эффекты квантования по уровню и конечной длине слова изучались с точки зрения синтеза систем по расположению полюсов и их управляемости. В общем случае непосредственное влияние квантования на цифровую систему можно выразить двумя понятиями: точность и устойчивость . Ниже будет исследовано влияние эффектов квантования на установившуюся ошибку системы.

Структурная схема квантователя по уровню и его статическая характеристика, представленная на рис. 13.8. Штриховой линией показана желаемая статическая характеристика квантователя. Заметим, что амплитуда входного сигнала / (?) может принимать любое значение, а величина выходного сигнала у (t) может принимать только дискретные значения, ближайшие к значениям r(t). Характеристика (см. рис. 13.8) имеет одинаковые уровни квантования, поэтому когда значение входного сигнала лежит между - /2 и /2, то выходной сигнал равен нулю; в интервале меж-

Рис. 13.8. Квантователь по уровню и его статическая ха- 7 -

рактеристика

ду ql2 и 3(7/2 выходной сиг- Ц-

нал равен (? и т. д. Как j-

было показано в гл. 2, 2-

соотношение между шагом -Щ-Щ-9д,-Щ--Зц- квантования q и длиной слова имеет вид

q = 2 -МЗЧ, (13-28)

где N - число двоичных битов или длина слова, а МЗЧ представляет собой полный масштаб входного сигнала. Ошибка квантования равна (7/2 или

I I I I

1-1-I-

9 2 Т

-Jg. -Ц

7 9 а %

-N-1

МЗЧ. (13-29)

На рис. 13.8 видно, что квантователь является

нелинейным устройством. Следовательно, математический анализ эффектов квантования в цифровой системе управления достаточно сложен.

Квантование по уровню в замкнутых системах в обшем случае может вызвать появление установившейся ошибки и незатухающих колебаний (предельный цикл) . Проиллюстрируем это на простых примерах.

Рассмотрим замкнутые цифровые системы (рис. 13.9). Эффектами квантования здесь можно пренебречь. Единственным отличием в системах является знак обратной связи: для системы, изображенной на рис. 13.9,й он отрицательный, а на рис. 13.9,6- положительный.Можно доказать,что обе системы асимптотически устойчивы. При г {к) = О z-преобразование для выхода системы, показанной на рис. 13.9,д, можно записать как

а для системы, приведенной на рис. 13.9, б, выразить как

где с (0) - начальное значение с {к) .

Обратные z-преобразования выражений (13-30) и (13-31) имеют соответственно следующий вид:

с(к) = (0,5)coskjr с(0) (13-32)

(13-33)

с(к) = (0,5)с(0)

-а5 *-I

Рис. 13.9. Две цифровые системы управления

cW г(к) е(к]

с(к)

Рис. 13.10. Две цифровые системы управления с квантователями по уровню

Следовательно, в обоих случаях переходный процесс, обусловленный начальным значением с (0), стремится к нулю при к-о°.

На рис. 13.10 показаны те же две цифровые системы, но с квантователями по уровню в каждом контуре. Предположим, что длина слова равна 4 бит, тогда шаг квантования по уровню определяется как q = = = 0,0625. Характеристика квантователя вычисляется следующим образом:

е(к)= О е(к) = nq е(к) = -nq

-q/2 < е(к) < q/2

nq - q/2 < е(к) < nq-Ь q/2 {п>1)

-nq - q/2 < e(k) <-nq-I-q/2 (n<-l)

Для системы с отрицательной обратной связью (рис. 13.10, а) значения выходного сигнала с (к) при г (к) = О и с(0) = 0,58 представлены в табл. 13.1. В этом случае на выходе устанавливаются Kone6aHjm с амплитудой ± q и периодом 2. Для системы с положительной обратной связью (рис. 13.10, б) значения выходного сигнала при тех же начальных условиях приведены в табл. 13.2.

Заметим, что в этом случае при возрастании к система имеет установившуюся ошибку (7.

На практике как установившаяся ошибка, так и предельные циклы явл}потся нежелательными, поэтому их стремятся сделать по возможности минимальными.

Наименьший верхнрш предел установившейся ошибки вследствие квантования по уровню можно оценить, заменив квантователь эквивалентным источником шума. Расчет предельных циклов является нелиней-

Таблица 13.1