Таблица 13.2

ной задачей, которая может быть решена, например, методом дискретной описываюшей функции [ 19].

Так как ошибка квантованного сигнала имеет наименьший верхний предел ± ql2, то наихудшая ошибка в цифровой системе управления вследствие квантования по уровню может быть определена при замене квантователя внешним источником шума с амплитудой сигнала ± /2. Для определения наименьшего верхнего предела установившейся ошибки вследствие квантования по уровню цифровая система (см. рис. 13.10, б) может быть представлена в эквивалентном виде (рис. 13.11).

По рис. 13.11 при г (/с) = О можно получить установившееся значение с (/с) в виде

limc(k) = lim(l-z-l)C(z) = к- z->l

1 z-1 (±q/2)z

(13-34)

Следовательно, в этом случае наименьший верхний предел ошибки, предсказанный по эквивалентной системе с источником шума совпадает с расчетным значением для нелинейной системы. Однако, если применить этот метод к системе (см. рис. 13.10,а) ,то верхний предел ошибки квантования для с(к) , полученный из эквивалентной схемы, будет равен ± q/3. Выше было показано, что система имеет предельный цикл, и амплитуда колебаний изменяется от - q т + q. Следовательно, можно сказать, что анализ ошибки квантования с помошью эквивалентных источников шума не позволяет предсказать появление предельного цикла в системе. В общем слзае для проектируемой цифровой системы необходимо исследовать как установившуюся ошибку, так и характеристики предельного цикла.

Рис. 13.11. Схема цифровой системы управ-ленил с квантователем для определения наименьшего верхнего предела установившейся ошибки

Метод пространства состояний. Для анализа наименьшего верхнего предела ошибки квантования по уровню в системе могут быть использованы метод пространства состояний или метод z-преобразования. Пусть уравнение динамики цифровой системы без квантования по уровню имеют вид

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (13-35)

с(к) = Dx(k) + Eu(k) (13-36)

где х(к) , и{к) и с (к) - соответственно н-, г- и р-мерный векторы. Предположим, что система имеет т квантователей по уровню, которые преобразуют сигналы в системе. Уровни квантования этих т квантователей обозначим как Qj, i = 1,2, т. Как бьшо показано выше, т квантователей можно заменить входньпчи сигналами с амплитудами ± ,-/2, г = 1,2,ш. Тогда цифровая система управления будет описываться следующими уравнениями динамики:

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) + Fq (13-37)

Cg(k) = Dx(k) + Eu(k) + Gq (13-38)

где x {к) - вектор состояния размерностью и X 1; Сд{к) - вектор выхода размерностью р X 1; F - матрица размерностью пХт, учитывающая связь между х (/с + 1) и эквивалентньпчи источниками шумов; G - матрица размерностью рХт, представляющая собой зависимость с(к) от q, где q - вектор вида

±qi/2

(13-39)

±9/2

Обозначим ошибку квантования по уровню в векторе состояния на к-м шаге выборки как (к) , тогда

ек) = х(к) - х(к) (13-40

Вычитая уравнение (13-37) из (13-35) , получим

е(к + 1) = Ае(к) - Fq Аналогично разность между уравнениями (13-36) и (13-38)

ejk) = с(к) - с(к) = De(k) - Gq

где Сс (к) - ошибка квантования по уровню в выходном сигнале Сд (к) на к-м шаге выборки.

Решение уравнения (13-41) при А: = Л есть N-1

е Ш)= Ае Ш)- X A--lFq (13-43)

к=0

где г-й элемент (N) можно записать как

(13-41)

(13-42)

m N-1

i= 1,2,n, где представляет собой /-Й столбец матрицы F. Для асимптотически устойчивой системы

lim а = О

(13-44)

(13-45)

Наименьший верхний предел установившейся ошибки квантования для г-го состояния есть

lim ei(N)

m N-1 q.

pдN-k-lp J.

lim У У

N- jti k=0

i=l,2,...,n (13-46)

Аналогично наименьший верхний предел установившейся ошибки квантования для г-го выхода может быть получен из уравнения (13-42):

У DjA k=0

N-k-lp

(13-47)

где D,- - матрица размерностью 1 X и, сформированная из г-й строки матрицы D; - г>-й элемент матрицы G; / =1,2,...,р; /= 1,2,...,т.

Метод z-преобразования. Метод определения наименьшего верхнего предела ошибки квантования на основе теории z-преобразований проще, чем при использовании метода пространства состояний. Переходя к z-npe-образованиям в обеих частях уравнения (13-41) и решая его относительно Ejc(z),nanyiHM

E(z)=(zl-A)-4(0)-(zI-A)-lFq (I3.48)

Тогда г-й элемент матрицы Ех (z) можно записать как

E,(z)=R(zI-A)-e(0)- p,(zI-A)-lF3 Наименьший верхний предел ошибки квантования для /-го состояния

lim е (N) N+~

im(l-z-l)Ei(z)

s 1 q-

lim Y Pi(zl - A)-F. z- i j=i

Аналогично для выхода

Di(zl-A)-Fj-gij

5i 2

(13-50)

(13-51)

Следзтощий пример иллюстрирует методику анализа наименьшего верхнего предела ошибки квантования.

Пример 13.3. Цифровой регулятор в системе управления обычно реализуется в виде программы, поэтому округление чисел необходимо учитывать с помощыо эк-