Рис. 13.12. Диаграммы состояния цифровой системы управления

С(Н) Бивалентных квантователей по уровню. Рассмотрим типовой цифровой регулятор первого порядка с передаточной функцией

U(z) = l±bz 1 + az-

<1) (13-52)

Диаграмма состояний регулятора показана на рис. 13.12, й, а на рис. 13.12, б представлена модель регулятора с учетом квантователей. Диаграмма состояний, на которой квантова-С {Н) тели заменены ветвями с единичным коэффициентом передачи и внешними источниками ±h/2 амплитудой сигналов ± (?/2,

В) показана на рис. 13.12, е. Прея-

полагается, что все четыре квантователя имеют одинаковый шаг квантования по уровню.

Без учета квантования запишем уравнения динамики регулятора непосредственно на основе рис. 13.12,с:

Xj(k + l) = -axj(k) + u(k) c(k) = (b-a)xj(k) + u(k)

(13-53)

(13-54)

Для системы с квантователями уравнения динамики могут быть представлены в виде

Xqi(k -К 1) = -aXqj(k) -Н u(k) ± q Cq(k) = (b-a)Xqi(k) + u(k)±2q

(13-55) (13-56)

Наименьший предел верхний ошибки квантования для переменной состояния л: j (А) определяется как

ех(к) = х(к)-х(к)

Из уравнений (13-53) и (13-55) получим

е{к + 1) = -ае{к) ± q Решение последнего уравнения имеет вцц

e(N) = (-а) е(0) + Y (-aj-l-Ctq)

к=0 ,

Модуль установившегося значения

lim е JN)

lim Y (-a)--±q) N- k=0

1 + a

(13-57) (13-58)

(13-59) (13-60)

Наименьший верхний предел ошибки квантования для выхода может быть получен из уравнений (13-54) и (13-56);

e(N) = c(N) - c (N) = (b - a)e(N) ± 2q

егося зна 2-l-a+b

Следовательно, модуль установившегося значения

lim е (N)

= fb-a)q + 2a = 2±i H-a H-a Ч

(13-61)

(13-62)

Анализ на основе метода z-преобразования проводится на основе определения z-преобразований x1 (к) hxj (к) как функций эквивалентных источников сигналов, показанных на рис. 13.12. Тогда

-Z +qz

E,(z) = X,(z)-X,(z)=

(13-63)

Начальными условиями в выражении (13-63) можно пренебречь, так они не влияют на установившуюся ошибку. Следовательно,

lim e,(N)

lim(l-z-l)E (z) z->l

(13-64)

что согласуется с результатом (13-60)

Аналогично наименьший верхний предел ошибки квантования для выходного сигнала системы может быть получен при определении его z-преобразования:

Ep(z) = C(z)-Cq(z) =

1 + bz-1

Следовательно,

Hm ep(N)

1 + а Ч

l-1-az

lim(l-z-)Ep(z) z- l

-I- 1

±az

1 -I- bz-

H-az

-I-1

(13-65)

(13-66)

список ЛИТЕРАТУРЫ

I. Той J. Т. Digital and Sampled-Data Control Systems. McGraw-HiU, New York. 1959. (Опубликован перевод: Ту Ю. Т. Цифровые и импулы;ные системы автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1964).

2. Johnson, О. W., Upper Bound on Dynamic Quantization Error in Digital Control Systems via the Direct Methods of Liapunov, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-10, Qctober 1965, pp. 439-448.

3. Sage, A. P., and Burt, R. W., Optimum Design and Error Analysis of Digital Integrators for Discrete System Simulation, AFIPS Proc, Vol. 27, Part 1,1965, pp. 903-914.

4. Smith, F. W., System Laplaee-Transform Estimation From Sampled-Data, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-13, February 1968, pp. 37-44.

5. Katzenelson, J., On Errore Introduced by Combined Sampling and Quantization, . IRE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-?, April 1962, pp. 58-68.

6. Kramer, R., Effect of Quantization on Feedback Systems With Stochastic Inputs, Report No. 7849-R-9, M.I.T. Electronic Systems Lab., Jqne 1959.

7. Kramer. R., Effects of Quantization on Feedback Systems With Stochastic Inputs, IRE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-6, SepteYnber 1961, pp. 292-305.

8. Greaves, C. J., and Cadzow, J. A., The Optimal Discrete Filter Corresponding to a Given Analog Filter, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, June 1967, pp. 304-307.

9. Brule, J.- D., Polynomial Extrapolation of Sampled Data With an Analog u)mputer, IRE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-7, January 1962, pp. 76-77.

10. Monroe, A. J., Digital Processes For Sampled Data Systems. John Wiley & Sons, New York, 1962.

II. Knowles, J. В., and Edwards, R., Finite Word-length Effects in Multirate Direct Digital СогДго1 Systems, /Voc. lEE, Vol. 112, December 1965, pp. 76-84.

12. Phillips, C. L., Instabilities Caused by Floating-Point Arithmetic Quantization, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-17, April 1972, pp. 242-243.

13. Divieti, L. D., Rossi, C. M., Schmid, R. M., and Verschkin, A. E., A Note on Computing Quantization EiTors in Digital Control Systems, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, October 1967, pp. 622-623.

14. Slaughter, J. В., Quantisation Еггьк in Digital Control Systems, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-9, January 1964, pp. 70-74.

15. Bertram, J. E., The Effects of Quantization in Sampled-Feedback Systems, Trans. AIEE (Applications end Industry), Vol. 77, September 1958, pp. 1,7-181.

16. Johnson, G. W., Upper Bound on Dynamic Quantization Error in Digital Control Systems Via The Direct Method of Liapunov, Trans, on Automatic Control, Vol. AC-10, October 1965, pp. 439-448.

17. Cuny, E. E., The Analysis of Round-Off and Truncation Errors in a Hybrid Control System, Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, October 1967,pp. 601-604.

18. Kuo, B. C, and Tal, J., ed.. Incremental Motion Control. Vol. I, DC Motors And Control Systems, SRL Publishing Company, Champaign, 111., 1978.

19. Kuo, B. C, The z-Transform Describing Function for Nonlinear Sampled-Data СЪп-trol Systems, Proc. of I. R. E., 43, No. 5, May 1960, pp. 941-942.

20. Intel 808C Microcomputer Systems Users Manual, Intel Corporation, Santa Clara, Calif., September 1975.