начинается при f = 0. Подвергая обе части выражения (2-82) преобразованию Лапласа, получим

F*(s) = f f(kT)e-kT , (2.83)

что является изображением по Лапласу выходного сигнала идеального квантователя.

На рис. 2.37 показаны типичные входной и выходной сигналы идеального квантователя. Выходом идеального квантователя является последовательность импульсов, площадь которых равна значению входного сигнала в соответствующие моменты замыкания. Так как импульсная функция по определению имеет нулевую длительность и бесконечную амплитуду, импульсы на рис. 2.37 представлены стрелками, длица которых соответствует площади импульсов. Используя (2-74), можно получить выражение для F*(s) в иной форме. Так как bf{t) и p{t) связаны соотношением

6T,(t) = lim - p(t)

р- 0 Р

F*(s) = lim - F*(s) = lim - У p.O P P p.O P

= i X F(s + jnoj,) n=-

(2-84)

JnsP

-jno.T

F(s+ jnwj =

(2-85)

Однако соотношение (2-74) получаем интегрированием вдоль контура Гг, который охватывает правую половину ?-плоскости. Поэтому важно проверить сходимость интеграла, который берем вдоль полуокружности бесконечного радиуса. Используя выражение (2-69), найдем предел P*(s)/P при р->0:

(2-86)

F(?)

1 e-T(s-£)

(s-?)[l-e-T(-?)]

2Г ЗТ IT 5T S)

fit)

J fOr)

6T TT

f(7T)

fm) f(5T)

Нбт)

Поскольку функция l/[l - e ( имеет простой полюс в бесконечности на -плоскости, то в этом случае часть интеграла в выражении (2-86), которую мм берем вдоль полуокрулсности бесконечного радиуса в правой половине -плоскости, может и не стремиться к нулю. Действительно,

Рис. 2.37. Сигналы ццеального квантователя:

а - входной; б - несущий; в - выходной Pit) =f{t)8it)

если степень знаменателя F(0 по превышает степень числителя не более, чем на 2, интеграл вдоль полуокружности может иметь конечное значение или даже может расходиться. Следовательно, выражение (2-85) справедливо только в том случае, если у функции F(s) число полюсов на 2 или более превышает число нулей. Другими словами, входной сигнал f(t) не должен иметь разрыва при t=0.

ролее обшее выражение, чем (2-85), может быть пол)Д1ено для F* (s), если определить df(t) как четную функцию: при t = О импульс имеет амгоштуду 1/р и длительность от / = -р/2 до / = р/2 для рО. Пусть ряд Фурье для 57-(/) при всех значениях iT определяется как

щеСп = lIT, что может быть легко показано. Тогда, при t>0 имеем

(2-87)

Наличие члена S(0/2 в правой части выражения (2-87) объясняется тем, что для ? > О рассматривалась только половина импульса. Теперь подставим выражение (2-87) в соотношение (2-82), взяв преобразование Лап-jaca

F*(s)=Sp + Z F(s-fjno.) (2-88)

в случае идеального квантователя выражение для F*(s) аналогично выражению (2-64) и для простых полюсов имеет форму

где N( ) и D( ) определяются выражениями (2-65) и (2-66), соответственно.

Проигшюстрируем применение выражений (2-83), (2-85), (2-88) и (2-89) на примере.

Пример 2.1. Предположим, что единичная ступенчатая функция /(О = квантуется идеальным квантователем через каждые Т секунд. Из выражения {2S2) следует формула для выходного сигнала идеального квантователя

.f*(t) = У f(kT)6(t - кТ) = У 6(t - кТ) <2-90)

к=0 к=0

Преобразование Лапласа функции/*(f)

4 F*(s) = £ е = 1 + <?~* е * - ... = -- для е < 1. (2-91) t к=0 1-е~

Теперь применим ныражснис (2-89). Имея

поскольку TV (s) = 1 иП (s) = 1, из (2-89) получим F*(s)= -

(2-93)

1-е-Т

что совпадает с результатом (2.91).

Тот же результат, что и в выражении (2-93), можно получить, используя соотношение (2-88), хотя математически это гораздо сложнее. По этой причине выражение (2-88) редко используется для определения решения F* (s) в компактной форме.

Соотношение, схожее с выражением (2-67), может быть получено при наличии кратного полюса в случае идеального квантователя.

В заключение приведем математические выражения для описания идеального квантователя.

Представление в виде бесконечной последовательности импульсов во временной области:

Временная область

f*(t) = X f(kT)6(t - кТ)

Преобрйзование Лапласа

F*(s) = f f(kT)e-kTs к=0

(2-82) (2-83)

Представление в виде бесконечного ряда в частотной области F*(s) = +\ Z F(s + jnoj) (2-88)

Преобразование Лапласа [ F (s) имеет к простых полюсов ] Ji N(?J

к М( ) 1

F(g)= N(S)/D(?)

(2-89)

где - п-й простой полюсF(),п = \,2,... ,к.

Преобразование Лапласа [F(s) имеет к полюсов с кратностью ш >

>1]

F*(s) = У У -7-- - Дт( )

(s-s ) F(s)

(2-94)

Ts

(2-95) (2-96)