\F(Jo)\

-Ws Uh~Wc 0 Wc Cds Ids

-til.

Рис. 2.38. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователи:

а - амплитудный спектр непрерывного входного сигнала /(f); б - амплитудный спектр выходного сигнала (tOj > 2cj£.) L .

Пример 2.2. В качестве иллюстрации применения соотношения (2-94) в случае кратных полюсов, рассмотрим преобразование единичной линейной функции идеальным квантователем. В этом случае

f(ty=tu (t)

(2-97)

F(s) =

(2-98)

Так как / (s) имеет двойной полюс s = О, то для определения F* (s) может быть использовано выражение (2.94).

Одному полюсу с кратностью 2 соответствует Л = 1 и - т, - 2. Из соотношения (2-95) следует

= 1 (2-99)

Kij=s2f(s)

ls=0

K,2 = s-F(s)

Окончательно из (2-94) получим Э 1

F*(s) = {-1)K

(1-е-Т)2

(2-100)

(2-101)

Вообще соотношения (2-83), (2-89) и (2-94) весьма полезны в случае определения преобразования Лапласа для сигнала, который проходит через идеальный квантователь. Соотношение (2-88) удобно использовать при построении частотных характеристик и частотном анализе.

Анализ соотношений (2-85) и (2-88) еще раз показывает, что идеальный квантователь является генератором гармоник. На выходе идеального Квантователя воспроизводится как спектр непрерывного входного сигнала /{t), так и дополнительные составляющие на частотах, кратных частоте квантования, причем амплитуды всех гармоник изменяются в l/T раз. Если предположить, что амплитудный спектр непрерывного входного сигнала имеет вид, показанный на рис. 2.38, а, то соответствующий ампли-

тудный спектр квантованного сигнала /* (t) при > 2сос будет иметь вид, показанный на рис. 2.38, б, где Wj - частота квантования; - наибольшая частота, содержащаяся в /(?). Если частота квантования будет меньше 2ыс, то в выходном частотном спектре появятся искажения из-за наложения дополнительных боковых полос.

2.8. ИМПУЛЬСНАЯ ТЕОРЕМА

Простое физическое рассуждение, сделанное в предыдущем параграфе относительно минимальной частоты квантования, необходимой для полного восстановления непрерывного сигнала, фактически отвечает на основной и достаточно важный вопрос о правильном выборе частоты квантования, если квантование применяется намеренно. При использовании в данной системе квантования часто задают вопрос: каковы ограничения на частоту квантования? Теоретически верхнего предела частоты квантования не существует, хотя любой реальный квантователь должен иметь конечную максимальную частоту преобразования. Теоретически, когда частота квантования достигает бесконечности, сигнал превращается в непрерывный. При рассмотрении идеального квантования необходимо пользоваться понятием бесконечной частоты квантования с осторожностью, так как в этом случае импульсы практически сливаются. Представляет интерес нижний предел частоты квантования. В этом случае интуитивно ясно, что если непрерывный сигнал изменяется во времени быстро, то квантуя его со слишком малой скоростью, можно потерять важную информацию о сигнале между моментами выборки. Следовательно, может оказаться невозможным восстановление исходного сигнала по информации, содержащейся в дискретных выборках.

Из амплитудных спектров, представленных на рис. 2.38, можно заключить, что наименьшая частота квантования для возможности восстановления сигнала равна 2 сос, где сос - наивысшая частота, содержащаяся в спектре f(t). Формально это положение известно как импульсная теорема. Теорема утверждает, что если сигнал не содержит частот выше, чем ojc радиан в секунду, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом Т= (1/2) X X (277/сос) секунд. Однако, реально на выбор частоты квантования влияют требование устойчивости замкнутых систем и другие практические соображения, которые могут сделать необходимым квантование сигнала с частотой более высокой, чем теоретический минимум. Более того, сигналы с ограниченным спектром физически не существуют в системах связи или управления. Все физические сигналы, существующие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастотных составляющих значительно ослаблены, предполагается, что сигнал имеет ограниченный спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализуемостью идеального низкочастотного фильтра делают невозможным точное воспроизведение непрерывного сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.

Следует привести интересное замечание по поводу импульсной теоремы: сигнал все же может быть полностью определен при квантовании его со скоростью меньшей чем 2сос радиан в секунду, если в моменты выборки известна информация как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Фогель [10] и др. доказали, что если сигнал не содержит частот больших чем cjc радиан в секунду, он полностью определяется значе-нш1ми /< (кГ), - 1) (кГ), ... , /(1) (кГ) и ПкГ), (к =0,1,2, ...), измеренными в дискретные моменты времени с интервалом Т= (1/2)Х X (п + 1) (27г/сос) секунд, где

- f(n)(kT) = dt

(2-102)

t=kT

Это означает, что если кроме значений f(kT) в моменты t = кТ (к =0,1, 2, ...) известны значения первой производной /(0>/ (Т), то максимально допустимый период квантования Т - 2nju)(.. Это вдвое больше периода, необходимого при измерении только /(кТ). Добавление каждой последуюшей производной позволяет увеличивать интервал между выборками до величины Т= (1/2) (и + 1) (27г/со£,), где п - порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.

2.9. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА F* (s) НА s-ПЛОСКОСТИ

Два важных свойства выходного сигнала идеального квантователя следуют из выражения (2-85).

1. F* (s) является периодической функцией с периодом /со.

; То, ЧТО F*(s) обладает свойством периодичности, очевидно из выражения (2.85) и рис. 2.38. Аналитически это можно показать путем подстановки S + /mcoj вместо s в (2-83), где т - целое число. Подстановка дает

F*(s+jmcoJ= I f(kT)e = e-Ts (2-103)

к=0 к=0

так как е = 1 для целых ктлт. Следовательно,

F*(s-f jmco) = F*(s) (2-104)

где m - целое число. Другими словами, для любой данной точки s = Si на s-плоскости функция F* (s) имеет одинаковое значение для всех периодических точек S = Si + jmcjs, где т - любое целое число. Это свойство хорошо иллюстрируется рис. 2.39. Как показано на рисунке, s-плоскость разделена на бесконечное число периодических полос. Полоса между и> = = -cos/2 и со = cos/2 называется основной, а все остальные, соответствующие более высоким частотам, обозначаются как дополнительные полосы. Функция F* (s) имеет одно и то же значение для всех конгруентных точек в различных периодических полосах.

2. Если функция F(s) имеет полюс s = Si, то F*(s) имеет полюсы S = S1 + jmojs для любого целого т (от -о° до +°°).

Справедливость этого утверждения следует непосредственно из выра-