ononhumenii-Sj-fJSuis ные полосы s,*J2Ws

п , г SiJWs

Основная (-----угы

полоса \ ,

Двполнитель 1£Л£ ные попосы Si-j3uJs°~

JUJ s-плоскость Jms

-------5Ш

ПолюсыГЪ)

3i0s

3u}s

J S-nnocMcmb ---------\---------у7/

-MrromcbiFjs,

A.----

-Ж-А-----.j,

Рис. 2.39. Периодические полосы иа Рис12.40. Периодичность полюсов F* (s) s-плоскости

ПолпсыГ{$)

j(0 s-nnocKOcmii

----pu/z

J5ti)s/2-

-j3l0s/2----

-----J76J,/2-

Рис. 2.41. Расположение полюсов F (s) и F* (s) , поясняющее эффект отображения

/7ол/осыУ*(5)

б жения (2-85). Типичный набор по- . люсов F(x) и соответствующих полюсов F*(s) показан на рис. 2,40.

Свойство ПфИОДИЧНОСТИ F*(s), которое иллюстрируется на рис. 2.40, может быть использовано для объяснения важности удовлетворения условий импульсной теоремы и смысла основной частоты. На рис. 2.40 ясно видно, что в результате квантования полюсы F(s) отображаются относительно частот, в целое число раз больших основной частоты соу/2, образуя при этом полюсы F* (s). Если полюсы F(s) лежат внутри основной полосы частот - Ws/2 < W < cjs/2, что соответствует частоте квантования по меньшей мере в 2 раза большей максимальной частоты, содержащейся в F(s), то эти полюсы в результате процесса квантования однозначно транспонируются в дополнительные полосы. Тогда, по крайней мере в принципе, идеальный фильтр с полосой пропускания Iwl < исключил бы все гармонические полюсы, так что окончательный результат соответствовал бы в точности F(s).

В то же время предположим, что условия импульсной теоремы не выполняются, так что полюсы данной функции F(s) по отношению к основной частоте расположены, как показано на рис. 2.41, а. Дискретная функция F*(s) (рис. 2.41, б) будет иметь теперь полюсы, которые отображаются обратно на основную полосу. При проектировании системы управления такое обратное отображение полюсов в область низких частот может вызвать дополнительные трудности. Точно так же, при рассмотрении непрерывного сигнала, если импульсная теорема не удовлетворяется, обратное отображение полюсов F(5) в основную полосу препятствовало бы восстановлению исходного сигнала из F*(s) даже с помощью идеального фильтра.

2.10. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ДИСКРЕТНЫМ ВЫБОРКАМ

В большинстве дискретных или цифровых систем управления высшие гармоники в сигнале /* (t), которые возникают вследствие операции квантования по времени, должны быть отфильтрованы до того, как сигнал будет приложен к непрерывной части системы. Большинство систем управления содержит элементы, которые спроектированы в расчете на непрерывные входные сигналы, поэтому необходимо использовать сглаживание импульсных сигналов. В противном случае аналоговые элементы систем могут подвергаться чрезмерному износу. Для сопряжения цифровых и аналоговых элементов часто используют устройство восстановления данных, или, проше говоря, фильтр. Схема хранения, используемая в сочетании с операцией квантования, рассмотренная в п. 2.4, есть, по сушеству, наиболее общий тип фильтрующего устройства в дискретных системах. Кроме того, большинство промышленных устройств выборки и хранения выпускаются как единое изделие, и операция выборки выделена нами только для удобства математического описания, поэтому для завершения описания операции выборки и хранения в целом теперь получим модель запоминающего устройства.

Для изучения процесса восстановления данных предположим, что идеальный квантователь имеет частоту ojg, которая по крайней мере в 2 раза больше максимальной частоты, содержащейся в непрерьшном входном СТнале. На рис. 2.42 показан амплитудный спектр F* (s). Из рисунка ясно, что для получения дубликата непрерывного сигнала квантованный по времени сигнал должен быть пропущен через идеальный низкочастотный фильтр с амплитудной характеристикой, показанной на рис. 2.43. К сожалению, идеальная характеристика фильтра физически нереализуема, так как хорошо известно, что в этом случае переходная функция должна начинаться до приложения входного сигнала. Однако даже если бы можно было реализовать идеальный фильтр, то, как упоминалось выше, точное воспроизведение непрерывного сигнала основано на предположении, что ДО имеет ограниченный спектр. Поэтому во всех практических случаях невозможно точно восстановить непрерывный сигнал, если он квантован по времени. Самое лучшее, что можно сделать при восстановлении данных, это постараться как можно точнее аппроксимировать исходную функцию времени. Более того, как будет показано в этой главе, лучшая аппроксимация исходного сигнала требует в общем случае большей временной за-

Хириктеристика ipumnipa

Цвтпиательиые составляющие

Дополнительтш составляющае

Основная -

составляющая с i

Рис. 2.42. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным выбор] зованием идеального низкочастотного фильтра

Рис. 2.43. Амплитудная характеристика идеального фильтра

кам с исполь-

держки, что нежелательно с точки зрения ее неблагоприятного влияния на устойчивость системы. Следовательно, проектирование устройства восстановления данных обычно подразумевает компромисс между требованиями устойчивости и желанием получить точную аппроксимацию непрерывного сигнала.

Задача заключается в том, чтобы при имеющемся ряде чисел /(0), ЦТ), f(kT), ... , или последовательности импульсов с амплитудой в моменты времени t = кТ, равной f{kT) при к = Q, 1,2,..., восстановить непрерывный сигнал f\t), г > О, по информации, содержащейся в этих дискретных данных. Этот процесс может рассматриваться как процесс экстраполяции, так как непрерывный сигнал должен быть восстановлен на основании информации, доступной только в предшествующие моменты выборки. Например, исходный сигнал /(г) между двумя последователь-. ными моментами выборки кТ к {к + 1) Г должен оцениваться на основании значений/(f) во все предшествующие моменты выборки кТ, {к - 1) Т, (к - 2)Т, ... , 0; т.е. по значениям/(А: Г), Л (А: - 1)Т],П{к- 2)Т],... ,/(0).

Известный метод получения требуемой аппроксимации основан на разложении /(г) в ряд на интервале между моментами выборки А: 7 и (А: + + 1) Т, т.е.

f(t) = f(kT) + f(kT)(t - кТ) + - (t- кТ)2 + ...

fk (О =/(0 для кТ< t< (к + 1) Т;

да,.

ГкТ,.

t=kT

(2-105) (2-106) (2-107)

(2-108)

t=kT

Для того чтобы вычислить коэффициенты ряда, заданного выражением (2-105), производные функции /(г) должны быть получены в моменты выборки. Поскольку единственная доступная информация об/(г) -это ее значения в моменты выборки, то производные f{t) должны оцениваться по значениям /(А:Г). Простое выражение, включающее только два дискретных значения, дает оценку первой производной f{t) в момент t= кТв виде

f(kT)i[f(kT)-f(k-l)T]

(2-109)

Аппроксимированное значение второй производной /(Г) при t = kT равно

f (kT)=i[f(kT)-f[(k-l)T] Подстановка (2-109) в (2-110) дает

(2-110)

f (kT)=;J-

f(kT) - 2f[(k - 1)Т] + f [(к - 2)Т]

(2-111)