5. Sheingold, D. M., (ed.), Analog-Digital Conversion Handboolt. Analog Devices, Inc., Norwood, Massachusetts, 1972.

6. Schmid, M., Electronic Analog/Digital Conuersfor?. Van Nostrand Rheinhold, New York, 1970.

Квантование и восстановление сигналов:

7. Balakrishnan, А. V., А Note on the Sampling Principle for Continuous Signals, IRE Trans, on Information Theory, Vol. IT-3, June 1957, pp. 143-146.

8. Shannon, C. E., Communication in the Presence of Noise, Proc. LR.E., Vol..37, January 1949, pp. 10-21.

9. Shannon, C. E., Oliver, B. M., and Pierce, J. R., The Philosophy of Pulse Code Modulation, Proc. I.R.E., Vol. 36, November 1948, pp. 1324-1331.

10. Fogel, L. J., A Note of the Sampling Theorem, LR.E. Trans, on Information Theory, I.March 1955, pp. 47-48.

11. Jagermao, and Fogel, L. J., Some General Aspects of the Sampling Theorem, LR.E. Trans, on Information Theory, 2, December 1956, pp. 139-146.

12. Linden, D. A., A Discussion of Sampling Theorems, Proc. LR.E., Vol. 47, July 1959, pp. 1219-1226.

13. Oliver, R. M., On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation-Theory, Proc. Royal Society (Edinburgh), 35,1914-1915, pp. 181-194.

14. Kuo, B.C., Analysis and Synthesis of Sampled-Data Control Systems. Prentice-Hall, Englewood aiffs, N.J., 1963.

15. Barker, R. H., The Reconstruction of Sampled-Data, Proc. Conference on Data Processing and Automatic Computing Machines, Salisbury, Australia, June 1957.

16. Porter, A., and Stoneman, F., A New Approach to the Design of Pulse Monitored Servo Systems, /./.£.£., London, 97, Part II, 1950, pp. 597-610.

17. Ragazzini, J. R., and Zadeh, L. H., The Analysis of Sampled-Data Systems, Trans. Л.1.Е.Е., 71, Part II, 1952, pp. 225-234.

18. Цыпкин Я. 3. Импульсные автоматические системы с экстраполирующими устройствами. - Автоматика и телемеханика, 1958, т. 19, № 5, с. 389-400.

19. Linden, D. А., and Abramson, N. М., А Generalization of the Sampling Theorem, Tech. Report No. 1551-2, Solid-State Elec. Laboratory, Stanford University, August 1959.

20. Jury, E. I., Sampling Schemes in Sampled-Data Control Systems, IR.E. Trans, on Automatic Control, Vol. AC-6, February 1961, pp. 86-88.

21. Beutler, F. J., Sampling Theorems and Bases in a Hilbert Space, Information and Control, Vol. A, 1961, pp. 91-111.

[ . ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

z-Преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. В последние годы при исследовании дискретных систем существенную роль стал играть метод пространства состояний благодаря его многосторонности и общему подходу к задачам анализа и проектирования. Однако важность метода z-преобразования не следует недооценивать, так как классические методы анализа и проектирования систем управления всегда будут представлять интерес для практического применения.

Мотивировку использования z-преобразования для изучения дискретных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа квантованного сигнала. Пусть выходной сигнал идеального квантователя обозначен через /* {t) и определен соотношением (2-82). Преобразование Лапласа для f* {t) определяется выражением (2-83) :

[f*(t)] = F*(s) = Z f(kT)e-Ts (3.1)

Выражение для F*{s) не является рациональной функцией относительно S, поскольку оно содержит множитель е, не свойственной большинству передаточных функций непрерывных систем. Когда в передаточной функции появляется множитель е~, могут возникнуть трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Следовательно, желательно сначала преобразовать иррациональную функцию/* (s) в рациональную, обозначаемую F(z), посредством замены комплексной переменной s на Другую комплексную переменную z. Выбор такой замены очевиден:

z=eT (3-2)

Хотя и замена z = ё~ отвечает тем же требованиям. Решая уравнение (3-2) относительно s, получим

s=Cnz (3-3)

В двух последних уравнениях Т - период квантования; z - комплексная Переменная, действительная и мнимая части которой определяются как

Rez= ecoscoT (34)

Imz= е sincoT (3-5)

s=a + jco (3-6)

Связь между s и z в уравнении (3-2) может быть определена как z-отображение. Подставляя (3-2) в выражение (3-1), получим

S = Y nz

= F(z) = Z f(kT)z-= (3-7)

что при представлении в компактной форме является рациональной функцией относительно z. Следовательно, F(z) можно определить как z-npe-образование функции/(f), т.е.

F(z) = 2-преобразование/(0 = } [/(г) ], , (3-8)

где - оператор z-преобразования. Следуя выражениям (3-1) и (3-7), можно записать

F(z) =[ преобразование Лапласа/*(г)]I j =

Поскольку z-преобразование /(f) получается из преобразования Лапласа для функций f* (t) заменой z = е, то в общем для любой функции /(г), имеющей преобразование Лапласа, существует также z-преобразование.

Процедура нахождения z-преобразования непрерывной функции включает следующие три этапа:

1) определение/* (г) как выходного сигнала идеального квантователя для входной функции /(f);

2) определение преобразования Лапласа/*(f)

F*(s) =Jli*m = f f(kT)e-Ts k=0

3) замена e на z в выражении для F* (s), чтобы получить

F(z)= Z f(kT)z- (3.10)

Выражение (3-10) используется при нахождении z-преобразования функции /(f). Однако неудобство этого выражения состоит в том, что оно является бесконечным рядом, а не эквивалентной функцией в компактной форме.

Альтернативное выражение для z-преобразования функции можно получить, если использовать ее изображение F(s), заданное в виде (2-89). Заменяя е~ на z~ в (2-89), получим

,1 . (3-И)

(3.,2)

имеет конечное число простых полюсов. Если F(s) имеет кратные полюсы