Дело в том, что в таблице z-преобразований обратное z-преобразование для выражения вида Al{z + а) отсутствует, хотя при положительном значении а член такого вида соответствует последовательности импульсов с экспоненциально затухающей амплитудой, когда присутствует временная задержка. Вместе с тем известно, что обратное z-преобразование функции AzI(z - е) равно Ае . Следовательно, удобнее разложить на простые дроби функцию F{z)jz. После разложения обе части выражения для. F{z)lz умножают на z для получения F{z).

Для функции, которые не содержат нулей (z = 0), соответствующая последовательность импульсов имеет временной сдвиг. Разложение функции F(z) на простые дроби представляются в обычном виде, т.е.

После чего находим

F,(z)=zF(z)= + +... (3-45)

Если найдено обратное z-преобразование функции (z), fi (к, Т), то обратное z-преобразование функции F(z) определяется следующим образом:

f(kT)= f-mz)] =

z-iFi(z) =fJ(k-l)T] (3-46)

Равенство в выражении (346) является прямым результатом соотношения (3-7), ecmfikT) = О для всех k<Q.

Пример 3.5. Дано г-преобразование

где а - положительное постоянное число; Т - период квантования. Используя метод разложения на простые дроби, найти обратное z-преобразование F(z), f(kT). Разложение F(z) /z на простые дроби дает

Следовательно,

= 71- (3-49)

Из таблицы z-преобразований может быть найдено обратное z-преобразование F(z) в виде временной функции, значения которой в моменты квантования определяются как

f(kT) = l-e- T (3-50)

Следовательно, дискретная временная функция может быть записана в виде

f*(t)= f (l-e- )6(t-kT) (3.51)

Заметим, что временная функция /(f) не мох<ет быть найдена из обратного

z-преобразования, так как оно не определяет значения функции между моментами замыкания.

2. Метод разложения в степенной ряд. Из выражения (3-7) следует, что обратное z-преобразование функции F(z) может быть определено разложением ее в бесконечный ряд по степеням z . Из выражения (3-7) получаем

F(z) = f(0) + f(T)z-l + f(2T)z-2 + ... + f(kT)z.- + ... (3-52)

Следовательно, коэффициенты ряда соответсвуют значениям f{t) в моменты квантования. Основное различие между методами разложения на простые дроби и в степенной ряд заключается в том, что первый метод дает решение для f{kT) в компактной форме, в то время как решением второго метода является последовательность чисел. Разумеется, оба метода эквивалентны, и для последовательности чисел также может быть записано выражение в компактной форме.

Пример. 3.6. Определить обратное z преобразование функции

z2-(l+e-T)z + e- T (3-53)

которая совпадает с функцией (3-47).

Последовательное деление числителя на знаменатель дает

F(z) = (1 -еТ)2-1 -t- (1 -e-2aT)z-2 -I-... (3-54)

В этом случае легко видеть, что

f(kT) = l-e- к = 0,1,2,..., (3-55)

и, следовательно,

f*(t)= Z (l-e-)6(t-kT) (3-56)

что совпадает с результатом (3-51), полученным методом разложения на простые дроби.

3. Метод, основанный на использовании формулы обращения. Интересно сравнить определения преобразования Лапласа и z-преобразования. Если для функции f{t) аргумента t существует преобразование Лапласа, то это преобразование Лапласа и z-преобразование функции /(г) соответственно равны:

F(s) =ЛЧт = J f(t)e-tdt

F(z)= /[f(t)] = f f(kT)z- (3.58)

k=o

Обратное преобразование .Лапласа определяем как

где с - абсцисса сходимости, которую выбираем таким образом, чтобы

nonmcbiF*(s).

C+joq

s-nnocKocmb

j3b)s

z-плоскости

ПолпсыГ(г)

:3lO

I г

Рис. 3.7. Контуры интегрирования на s- и z-плоскостях при использовании формулы обращения

особые точки подынтегральной функции F(s)e* лежали слева от нее. Можно показать, что для обратного z-преобразования существует аналогичное выражение

f(kT)= F(z)z-ldz

(3-60)

где Г - замкнутый контур (обычно окружность) на z-плоскости, включающий все особые точки F(z)z~ .

Подставляя t= кТв выражение (3-59), получим 1г 1 .c+j.

F(s)eMs

2JJc-i

Как показано на рис. 3.7, а, интеграл (3-61) берется вдоль прямой линии 0 = с, проходящей отдо +}°°. Эта прямая пересекает периодические полосы на s-плоскости, и, следовательно, интеграл (3-61) может быть представлен в виде суммы интегралов, каждый из которых берется в пределах одной периодической полосы. Тогда

f(kT)= Z F(s)elTsjjg p.g2)

где cos = 2nlT. Заменяя s на s + /гсоу, где г - целое число, получим выражение (3-62) в виде

f(kT) = Z

c-jWg/2

F(s -I- jiwje

kT(s+jicu )

d(s + jiwj

f(kT) = Z F(s + jia;3)eTsds

(3-63) (3-64)