enzl=z-ldz (3-70)

Меняя порядок суммирования и интегрирования в последнем выражении, получим

f(kT) = Г* f F(s-I-jiwJe TMs (3-65)

Так как из выражения (2-85) следует, что

F*(s) = I F(s-bjka;) (3-66)

k=-

ТО уравнение (3-65) можно представить как f(kT)=; F*(s)eTsds

Подставляя z = е* в (3-67) и учитывая, что

F(s),= lg , = F(z) (3-68)

ek-ft = (3-69)

ds= d Получим

f(kT)=2 F(z)z-ldz (3-71)

Линия интегрирования от s = с - /(cos/2) до s = с + /(cos/2) отображается в окружность z = е на z-nnDCKOcra (рис. 3.7, б). Так как F*(s) на s-плоскости не имеет особых точек на линии интегрирования s = с + + /со, со G (-°о, >), или справа от нее, то все особые точки F(z)z ~ должны лежать на z-плоскости внутри окружности Г, z = е*.

Пример 3.7. Определим обратное z-преобразование функции F(z), заданной выражением (3-47), по формуле обращения (3-60). Подставляя (3-47) в (3-60), получим

где Г - окружность, включающая полюсы F{z), z = 1 и z = в Г Интеграл (3-72) может быть определен по теореме вычеюв, т.е.

Пт = £1 Следовательно,

(-l)(z-.-) Z>.r (3-74)

Результат совпадает с выражениями (3-50) и (3-55), полученными двумя предыдущими методами.

f(kT) = SRes F(z)z~ в полюсах F(z). (3-73)

3.5. ТЕОРЕМЫ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Использование z-отображения часто может быть существенно облегчено применением теорем z-преобразования. Ниже приводятся доказательства основных теорем z-преобразования и примеры их практического приложения.

1. Суммирование и вычитание. Если fi (г) и /2 (Г) имеют z-преобразования

Fi(z)=/[fi(t)] = f fi(kT)z- (3-75)

Fg) =tf2(t)] = f f (kT)z- (3-76)

соответственно, то

[fl(t) ± fgCt)] = Fj(z) ± F2(z) (3-77)

Доказательство. Из определения z-преобразования следует:

jifiX) ± fgCt)] = f [fi(kT) ± f2(kT)]z- = k=0

= У f, (kT)z- ± Z lAVDz = R (z) ± FJz) (3-78)

k=0 k=0 12

2. Умножение на константу. Если F{z) есть z-преобразование f{t),

/[af(t)] = a[f(t)] = aF(z) (3-79)

где a - константа.

Доказательство. Из определения z-преобразования следует:

J[af(t)] = f af(kT)z- = а Z f(kT)z-k = aF(z) (3-80)

k=0 k=0

3. Сдвиг no временной области. Если f{f) имеет z-преобразование F(z),to

;([f(t-пТ)] = z- F(z) (3-81)

[f(t -Ь пТ)] = z [f(z) - Zf(kT)z- J (3.82)

где n - положительное целое число. Доказательство. По определению

J {f(t - пТ)] = Z f(kT - nT)z-k (3-83)

что может быть записано как

/ [f(t - nT)i = I f(kT - nT)z-<b- > (3-84)

Предполагая, что/(О равно нулю при t<0, получим выражение (3-84) в виде

/[if(t - пТ)] = 2 f(kT - nT)z-<- > = z- F(z) k=n

Для доказательства (3-82) запишем:

(3-85)

[f(t + пТ)] = У f(kT + nT)z- =

= z Z f(kT + nT)z-(* > = z F(z) - Z f(kT)z k=0 L k=0

(3-86)

Пример 3.8. Найдем 2-преобразование единичной ступенчатой функции при задержке ее на один период квантования Т. Используя теорему о сдвиге во временной области (3-81), получим

(3-87)

/ lu,(t -Т)1 = z-Vl s(t)l = = Л

4. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если /(f) имеет z-преобразование F{z), то

f[e*H{t)] = [F(s ± а)] Ts = FCze*) z=e

где а - константа.

Доказательство. По определению

(3-88)

f{eH(m = t f(kT)e iT2-k к=о

Положим Zi=ze*, тогда выражение (3-89) запишем в виде

(3-89)

[e tf(t>l = Z f(kT)z = F(zi) к=о

Следовательно,

5f[e+atf(t)] = F(ze* )

Пример 3.9. Найдем z-преобразование функции /(f) = е sintjf с помощью теоремы об умножении оригинала на экспоненту.

Из таблицы z-преобразований для е slnojf найдем

(3-90)

(3-91)

z2 - 2ze-coswT-f

а для smu)f

*[sinwt] =-=-

z - 2zcoscoT -f 1

(3-92)

(3-93)

Очевидно, что результат (3-92) может быть получен подстановкой ze в выражение (3-93) вместо z.