5. Теорема о начальном значении. Если функция/(г) имеет 2-преобра-зование F(z) и если существует предел

lim f(kT) = lim F(z) .3 04ч

k-.0 z*-

Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала Р {i) при t = = О определяется значением F(z) при z = < .

Доказательство. По определению F(z) можно представить в виде

F(z) = Z f(kT)z- = f(0) + f(T)z-l + f(2T)z-2 + ... (3-95)

Возьмем предел от каждой части последнего выражения и, учитывая, что Z стремится к бесконечности, получим

Um F(z) = f(0) = lim f(kT)

6. Теорема о конечном значении. Если функция f{t) имеет z-преобра-зование F(z) и если функция (1 - z~)F(z) не.имеет полюсов на окружности единичного радиуса z = 1 или вне ее на z-плоскости, то

lim f(kT) = Um (1 - z )F(z) (3-97)

к*- z<l

Доказательство. Рассмотрим два ряда с конечным числом членов:

У f(kT)z-* = f(0) + f(T)z-l + ...+ f(nT)z- (3-98)

f У f[(k - DTlz- = f(0)z-l + f(T)z-2 + ...+ f[(n - l)T]z- (3-99) k=0

Предположим, что /(f) =0 при t <0, тогда член /(-7) в выражении (3-99) равен нулю. Сравнивая выражения (3-98) и (3-99), видим, что последний ряд может быть записан как

i У f [(к - 1)Т] z- = z-l !? f(kT)z-k (3-100)

к=0 к=0

Определим в пределе при z 1 разность между выражениями (3-98) и (3-100):

limf f f(kT)z- - z-1 Z f(kT)z-

2*lT-k=0 b=0

n n-1 (3-101)

= t f(kT)- I f(kT)=f(nT) k=0 k=0

В последнем выражении возьмем предел при п тогда

lim f(nT) = Um lim Г f f(kT)z- - zl f(kT)z- 1 , рол

Меняя порядок пфехода кпределу в последнем выражении и учитывая, что

lim У f(kT)z-l = lim £ f(kT)z- = F(z) (3.IO3)

k=C k=0

получим

lim f(nT) = lim (1 - z ! )F(z) (3-104)

z- l

что и является доказательством теоремы о конечном значении.

Пример 3.10. Используя теорему о конечном значении, определить конечное значение/(fc?;) для заданного г-преобразования

* О 792z

==(z-l)(z2-0.416z-b 0.208) (3-0>

Для решения нужно применить теорему о конечном значении, так как функция

(l-z-%(z) = -- (3-106)

* z - 0.416Z -I- 0.208

не имеет полюсов на единичной окружности 1 г = 1 или вне ее. Следовательно, из (3-97) получим

lim f(kT) = lim-- = 1 (3-107)

к..- Z4i - 0.416Z -I- 0.208

Полученный результат можно проверить разложением F{z) в ряд по степеням z : F(z) = 0.792z- -I- 1.12Z-2 -- 1.091z- -I- LOlz -I- 0.983z- -Ь

-b0.989z-6-b0.99z-U...

Видно, что последовательность значений коэффициентов ряда быстро сходится к установившемуся значению, равному единице.

7. Теорема дифференцирования. Пусть z-преобразование функции f{t, а) есть F(z, а), где а - независимая переменная или константа. Тогда z-преобразование частной производной функции f{t, а) по а определяем как .

l [f(t,a)i;

= ;F(z,a) (3-109)

Доказательство. По определению

00 (3-110)

= i:f(kT,a)z- = F(z,a)

Следуюпдий пример показывает,что при использовании теоремы дифференцирования z-преобразования некоторых функций могут быть получены довольно просто.

Пример 3.11. Определим z-преобразование функпии/(О = te с помощью теоремы дифференцирования.

2-преобразование/(0 можно вычислить как

: f№)]=?[te- *]=7[-;e- t Из выражения (3-109) следует, что

(3-111)

(3-112)

8. Теорема о свертке во временной области. Если функции/i (О и/г (О имеют z-преобразования F2 (z) и (2) соответственно и /1 (г) = Д {t) = = о для Г < О, то

; Fj(z)F2(z)= £fl(nT)f2(kT-nT)

(3-113)

Доказательство. Правая часть уравнения (3-113) может быть записана в виде

00 It

£fi(nT)f (kT-nT) = £ £ f,(nT)f2(kT- nT)z

Ln=0 * k=0 n=0

= I t f,(nT)f2(kT-nT)z- k=0 n=0

(3-114)

Полагая тя = к- пи изменяя порядок суммирования, получим

fJnT)f2(kT-nT) = Ln) -I n=0 m=-n

£ fl(nT)f2(kT-nT)]= ffi(nT)z- I f2(mT)z- (3.II5)

Так как /2 (Г) = О для t< О, то последнее выражение примет вид

f,(nT)f2(kT-nT)]= Ifi(nT)z- f f2(mT)z- = (3.116) Ln=0 J n=0 m=0

1 = Fj(z)F2(z)

Нетрудно заметить, что теорема о свертке во временной области аналогична соответствующей теореме преобразования Лапласа. Однако необходимо помнить, что обратное z-преобразование (или Лапласа) произведения двух функций не равно произведению соответствующих оригиналов, т.е.

?-[Fi(z)F2(z)lfl(kT)f2(kT)

(3-117)

9. Теорема о свертке в области изображений. Если z-преобразования fi (О и /2 (О соответсвенно равны (z) и Fj (z), то z-преобразование произведения этих двух функций

Fi(g)F2(zr

(3-118)