Здесь Г - окружность, которая лежит в кольцевой области, определяемой выражениями

а, <?<2/02;

z >max(oi, 02, О1О2),

где о, и О2 - радиусы сходимости соответственно () и2 ().

Доказательство. Из определения z-преобразования /1 (О/2 (О запишем

;[fl(t)f2(t)l = 2 fi(kT)f2(kT)z- (3-119)

Для абсолютной сходимости этого ряда необходимо, чтобы модуль Z был больше, чем наибольшее значение Oi, 02 H0i02,T.e. z = max(Oi, 02,0102)- в

Можно записать/, {кТ) в виде соответствующего обратного z-преобразования

fi(T)=F,a)?-4 3.20)

где Г - окружность, включающая все особые точки{)~ Ч следовательно, III >0i. Подставляя (3-120) в формулу (3-119), получим

fi(t)f2(t)] =Щ< /2(kT)(riz)- (3-121)

Так как

F2(riz)= Zfarz)- (3.122)

абсолютно сходится для H z > а, или < z/o2, то выражение (3-121) принимает вид

с учетом условия

°1<1?1< (3-124)

Пример 3.12. Применим теорему о свертке в области изображений для определения z-преобразования функции /(f) = tf. Пусть/ (f) = f и / (f) = с°. Тогда

Fj(z) = - lzl>l = o (3-125)

(z-l)2

F2(z) = -L zl>e-T (3-126)

Подставляя (3-125) и (3-126) в формулу (3-118), получим

где г - окружность, лежащая в кольце i-frn < -к -l<l£l<-M. = lzk-T

\z\ >1.

Следовательно, контур интегрирования в выражении (3-127) включает в себя только те полюсы подынтегральной функции, которые соответствуют J = 1. Применяя теорему о вычетах к выражению (3-127), имеем

У [/i (0/2 ( О = Res -

t = 1

(zr-.- )

е=1 (z-.- )

(3-129)

что согласуется с результатом, полученным выше в примере 3.11.

3.6. ОГРАНИЧЕНИЯ МЕТОДА z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В предыдущих параграфах было показано, что метод z-преобразования является удобным средством анализа линейных щ1фровых систем. Однако методу z-преобразования присущи ограничения, и в некоторых случаях необходимо проявлять осторожность при его применении и интерпретации полученных результатов.

При применении z-преобразования надо учитывать следующие соображения.

1. z-Преобразование базируется на предположении, что квантованный сигнал представляет собой последовательности импульсов, площадь которых равна амплитуде входного сигнала квантователя в дискретные моменты времени. Это предположение справедливо только в том случае, если время квантования намного меньше определяющей постоянной времени системы.

2. z-Преобразование выходного сигнала линейной системы C(z) определяет значения времшной функции с (?) только в моменты квантования; C(z) не содержит информации о значениях с (г) между моментами квантования. Следовательно, для заданной функции C(z) ее обратное 2-преобразование с{кТ) описывает c{t) только в моменты квантования t=kT.

3. При анализе линейной системы методами z-преобразования передаточная функция непрерывной системы G{s) должна иметь полюсов, по крайней мере, на один больше, чем нулей; эквивалентным тербованием является отсутствие разрыва импульсной переходной функции для G (s) при f = 0. В противном случае процессы в системе, полученные с помощью метода z-преобразования, могут быть ошибочными.

При полном описании любой системы почти всегда требуется знать характер процессов между моментами квантования. На основе z-преобразования разработано несколько методов, позволяющих определять значения переходных процессов в цифровых системах между моментами квантования. Из них наиболее известны методы модифицированного z-преобразования и дробного квантования. Они описаны в п. 3.9.

3.7. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

До сих пор рассмотрение дискретных систем сводилось к изучению свойств и математического описания дискретных сигналов. Теперь проанализируем случай, когда ко входу линейной системы прикладывается дискретный сигнал.

- Для линейной разомкнутой системы с непрерывным сигналом r{t) на входе (рис. 3.8, а) соотношение вход-выход описывается передаточной функцией

с(., = И (з-во,

Если теперь на вход этой же системы приложить квантованный сигнал, как показан© на рис. 3.8, б, то преобразование Лапласа для выходного сигнала системы можно записать в виде

C(s) = R*(s)G(s) (3.131)

где R*{s) - преобразование Лапласа дискретного сигнала. Наша задача -найти способ описания цифровой системы в терминах z-преобразований C{z),R (z) и*С(z). Проше всего это сделать, получив с помошью выражения (2-85)

C*(s) - Z C(s -I- jno;) = f R*(s + jna;JG(s -I- jna;J (3-132) 1 n=- n=-

Используя тождество (2-104), получим

R*(s-I-jncoj = R*(s) (3-133)

Перепишем выражение (3-132) в виде

U*(s)=R*(s)= Z G(s-l-jna;J (3-134) n=-

Определяя

G*(s) = f G(s + jna;) (3-135) n=-~

из соотношения (3-134) получим

C*(s) = R*(s)G*(s) (3-136)

Переходя к переменной z{z - е), получим следующий вид выражения (3-136).:

C(z) = G(z)R(z) (3-137)

что является требуемым передаточным отношением для линейной системы с дискретным входным сигналом. Заметим, что выходной сигкал

Рис. 3.8. Линейная система с непрерывным (а) и дискрет- Рпвша/тнгтдатель

ным (б) входными сигналами ,---Л -Л

\ Si C*(s)

R(sj