системы может быть непрерывным, но выражение (3-137) определяет выходной сигнал только в моменты квантования.

Выражение (3-137) может быть получено иным способом при анализе импульсной переходной функции. Предположим, что единичный импульс прикладывается ко входу системы (рис. 3.8, б) при t = 0. Выходной сигнал системы описывается импульсной переходной функцией (f). Если на выходе системы расположен фиктивный квантователь S2, синхронизированный с 5i, то выходной сигнал квантователя может быть записан в виде

c*(t) = g*(t) = g(kT)6 (t - кТ) (3.138)

где g{kT) - весовая, или импульсная, последовательность системы для Л = О, 1,2,3,... .

Если ко входу линейной системы приложен дискретный сигнал /* {t), то выходной сигнал системы можно записать в форме

c(t) = r(0)g(t) + r(T)g(t - Т) + r(2T)g(t - 2Т) + ... (3-139)

При t = кТ, где к - положительное целое число, выражение (3-139) примет вид

с(кТ) - r(0)g(kT) + r(T)g[(k - 1)Т] + ... -t- r(kT)g(0) = = b(nT)g(kT-nT)

Беря z-преобразование от обеих частей (3-140) и применяя теорему о свертке во временной области (3-113), получим

C(z) = R(z)G(z) (3-141)

G(z)=. f g(kT)z- (3-142)

является импульсной передаточной функцией линейной системы. Следовательно, импульсная передаточная функция C(z) связывает z-преобразование входного сигнала R (z) с z-преобразованием выходного C(z) подобно тому, как передаточная функция непрерывной системы G(s) связывает /?(х) и С(х). Однако, если линейная система содержит только аналоговые элементы, выходной сигнал является функцией непрерывного аргумента t.

В выражении (3-141) z-преобразование определяет непрерывный сигнал с (t) только в дискретные моменты времени t = кТ, что является одним из ограничений метода 2-преобразования. В некоторых случаях потеря информации между моментами квантования не имеет значения. В других Же случаях, если в сигнале c{t) между моментами квантования содержатся колебания большой амплитуды, метод z-преобразования часто может дать неправильные результаты. При сравнении выражений (3-135) и (3-142) видно, что импульсная передаточная функция G(z) находится по Импульсной переходной функции g{t) точно так же, как R (z) определяется по сигналу(t).

Последовательное соединение звеньев импульсных систем. При рас-

Фиптибный квантобатель

Г si C*(s) c(t)

Cfs)

Рис. 3.9. Последовательное соединение элементов дискретной системы, разделенных квантователем

Рис. 3.10. Последовательное соединение элементов дискретной системы с квантователем на входе

г C(s)

fi(s) s, R(s)

смотрении Дискретной системы с последовательным соединением звеньев необходимо внимательно подойти к нахождению передаточной функции всей системы. На рис. 3.9 показана дискретная система с последовательно соединенными звеньями Gl и Gj- Два звена разделены квантователем , который идентичен первому 5i и синхронизирован с ним.

Импульсная передаточная функция всей системы определяется следующим образом. Сигналы на выходе звеньев 6\ и

D{z) =G,{z)R{z);

(3-143) (3-144)

C(z) = G2(z)D(z)

Подстановка (3-143) в выражение (3-144) дает

C(z)= Gj(z)G2(z)R(z) (145)

Следовательно, импульсная передаточная функция двух линейных звеньев, разделенных квантователем, равна произведению импульсных передаточных функций этих звеньев.

Когда два звена соединены последовательно, но не разделены квантователем, как показано на рис. 3.10, импульсная передаточная функция всей системы должна быть записана в виде

f{G(s)Gm = GiG2(z)= G2Gj(z) Заметим, что в общем случае

GiG2(z)tGi(z)G2(z) Выход системы может быть определен как

C(z)=GiG2(z)R(z) (3-148)

Передаточные функции цифровых систем с обратной связью и с боль-

(3-146) (3-147)

* Для большего количества звеньев импульсная передаточная функция может быть записана как f [Gj (s) Gj (s) G, (s) ] = G, Gj G3 (z). Это замечание в дальнейшем используется без доказательства.

шим числом сихронизированиых квантователей могут быть получены алгебраическими преобразованиями или методом сигнальных графов. Алгебраический метод громоздок и трудно реализуем, особенно в сложных случаях. Метод сигнальных графов рассмотрен в п. 3.10.

3.8. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ФИКСАТОРА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА И СВЯЗЬ МЕЖДУ G (s) И G (z)

В гл. 2 было установлено, что передаточная функция фиксатора нулевого порядка [выражение (2-114) ]

1 - е-т

z-Преобразование Г/о () есть

=-Tsl

= (1

- ,-1

(3-149)

(3-150)

I Этот результат очевиден, так как фиксатор нулевого порядка в течение периода квантования удерживает постоянным дискретный сигнал, полученный в результате выборки, и вычисление z-преобразования для передаточной функции фиксатора должно определять исходный квантованный сигнал. Однако в большинстве случаев на практике за фиксатором нулевого порядка следует непрерывная часть системы (рис. 3.11). z-Преобразование выходного сигнала системы в этом случае

C(z)= Gi(z)R(z) (3-151)

. Gi(z)=y[Gbo(s)G(s)] (3.152)

[Подставляя передаточную функцию (3-149) в последнее выражение, получим

1 - е

G(s)

= (l-z-l)?[G(s)/sl

(3-153)

В рассматриваемом случае z-преобразование числителя передаточной функции фиксатора можно вынести за скобки в соответствии с теоремой сдвига во временной области (3-81). Однако z-преобразование G(s)/s должно быть определено как для одного целого.

В гл. 2 было сделано замечание, что теоретически при бесконечном возрастании частоты квантования импульсная система стремится к соот-

<Ринсатир j нулевого порядна

hit)

His)

G(s)

C(tj

Cfs)

Рис. 3.11. Система с устройством выборки и хранения