ветствующей непрерывной системе. Однако это не означает, что для заданного преобразования

/[G(s)] = G(z) (3-154)

следует .

lim G(z) = G(s) (3-155)

Так как z-преобразование основано на амплитудно-импульсной модуляции непрерывного сигнала с периодом квантования Т(с), то устремление Т к нулю лишено физического смысла. Другими словами, если сигнал г (t) квантуется идеальным квантователем и при этом образуется сигнал г* (Г), то устремление периода квантования к нулю не обеспечивает совпадения г* (г) и f(0. Это объясняет, почему выражение (3-155) в общем случае не справедливо. Однако если дискретный сигнал r*{t) поступает на вход фиксатора нулевого порядка, выход которого есть h (t), то

l h(t) = r(t) (3.156)

hm H(s) = R(s) (3-157)

Таким образом, смысл последних двух выражений заключается в том, что если непрерывный сигнал послан на устройство выборки и хранения, то выходной сигнал последнего совпадает с r(t) при устремлении периода квантования к нулю.

Пример 3.13. в качестве простой иллюстрации рассмотрим случай, когда входной сигнал /-(О системы, показанной на рис. 3.11, равен ё~о. Тогда R(,s) = l/(s + о). Дискретное преобразование/-(Г) есть

R*(s)=Ts!-aT (3-158)

Тогда преобразование Лапласа для сигнала на выходе фиксатора нулевого порядка определяется как

H(s) = Go(s)R*(s) = Tsl[-aT (3-159)

Можно показать, что при устремлении периода квантования Т к нулю

Т% = (> 3-160)

Другим важным и полезным свойством z-преобразования является то, что Urn y[Go(s)G(s)] = G(s) (3-161)

Это свойство может быть получено подстановкой (3-149) в выражении (3-161) что дает

Umy[Gbo(s)G(s)]=Umy

3 -G(s)

(3-162)

Раскладывая eJ в ряДИУчитиЁаЯ толвк(?йё¥йын;ав&-ВДага гф№едемвЬ ние (3-162) к виду

I lim Jf[Gb(j(s)G(s) J = lim TG(z)

В результате замены переменной

G(z) = G*(s)

= i Z G(s-l-j2n7r/T) Ts n--

выражение (3-163) можно записать как

tony[G(j(s)G(s)] = m Y, G(s-Ь J2n7r/T)

-G(s)

(3-163)

(3-164)

(3-165)

Пример 3.14. Предположим, что передаточная функция дискретной системы, изображенной на рис. 3.11, имеет вид

где Кка ~ постоянные. Тогда

Gi(z)=J[Gbo(s)G(s)]=(l-z-l)

Ls2(s-l-a)J

(3-166)

(3-167)

Вычисляя z-преобразование для последнего выражения и производя его упрощение, получим

п КТ К(1-е-)

l<-a(z-l) ,2 ,-аТ.

(3-168)

(z-e-M

1 Чтобы показать, что предел G, (z) при Т О равен С (s), положим z = е* и представим eTs в виде 1 + Ts (первые два члена разложения в степенной ряд). Аналогично, представим как 1- аТ. Тогда

К(1 - 1 аТ)

lim Gi(z) = lim /tv Г*,-iT - lim T..0 1 T*oa(Ts+l-l) T*0a2(l + sT-l + aT)

T*0 К

(3-169)

r = G(s)

as a(s -I- a) s(s -I- a)

3.9. ПРОЦЕССЫ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ КВАНТОВАНИЯ

В н. 3.6 было подчеркнуто, что метод z-преобразования обладает достаточной точностью только применительно к системам, в которых сигналы слабо изменяются. Другими словами, метод z-преобразования эффективен только для систем, в которых сигналы могут быть адекватно представлены их выборками в моменты квантования.

Если метод z-преобразования не обеспечивает адекватного представления сигналов, необходимо определить реакцию системы между моментами квантования. В этом случае могут быть полезны метод дробного квантования и метод модифицированного z-преобразования, которые описаны ниже. Эти же методы используются в качестве основного математического аппарата при анализе цифровых систем с многократным квантованием и с переменным периодом квантования.

Фиктивный КбантоВатель

c(t)

r(t)

S, ST/N - .

Квантователь Фиктивный I--------

квантователь j

Б) -

G(s)

Фиктивный квантователь -t---cit)

Рис. 3.12. Дискретная система:

fl - с одним фиктивным квантователем; б - с двумя фиктивными квантователями для определения реакции между моментами квантования

Метод дробного квантования. На рис. 3.12, а показана структурная схема с фиктивным квантователем на выходе дискретной системы, анализируемой методом z-преобразования. Оба квантователя работают с основным периодом квантования Г(с) и обозначены . Связь между входом и выходом системы определяется соотношением (3-141), где импульсная передаточная функция задана выражением (3-142). Чтобы найти значения сигналов между моментами квантования, введем в систему два дополнительных фиктивных квантователя 5, как показано на рис. 3.12,6. Период квантования 5у равен TjN, где N - положительное целое число, большее единицы. Так как входным сигналом фиктивного квантователя 5 на входе системы является последовательность импульсов с периодом Т секунд, а частота квантования Sj в N раз больше, чем Si, то введение фиктивных квантователей в исходную систему не изменяет ее характеристик.

Выходной сигнал системы с (?) может быть записан в виде суммы импульсных переходных функций

c(t) = X T(mT)g{t - ml) (3-170)

где g{t) - импульсная переходная функция системы. В любой момент квантования t = kTjN значение с (t) равно

c(kT/N)= f r(mT)g(kT/N-mT) (3-171)

Выход фиктивного квантователя 5 запишем как

c*(t)N = f c(kT/N)6(t - кТ/N) (3.1-72)

Вычисляя Z-преобразование ОТ обеих частей выражения (3-172), получим

C(z)n = ?[c*(t)j,] = I c(kT/N)z- (3.173)