Сравнение выражения (3-173) с формулой обычного z-нреббразования показывает, что C(z)j может быть получено непосредственно из C(z) заменой z на z и 7 на T/N, т.е.

, C(z)n.= C(z)

z=zl/N (3.174)

T=T/N

Подставляя (3-171) и (3-173), получим

оо оо

> C(z)i.= Z Z r(mT)g(kT/N - mT)z-> (3-175) k=0 m=0

Положим v/TV = (kjN - /и), где v - целое число, тогда выражение (3-175) принимает вид

оо оо

C(z)n = Z g(vT/N)z-/n 2 r(mT)z- (3.I76)

v=0 m=0 Обозначая

[ G(z)n = f g(vT/N)z-/n G(z)

z=z ГЗ-177>

T=T/N (4 1)

запишем выражение (2-176) в виде

C(z) = G(z)iR(z) (3-178)

p. Проведенные преобразования позволяют сделать вывод, что реакция между регулярными моментами квантования может быть получена заменой z и 7 в обычной импульсной передаточной функции системы. Необходимо подчеркнуть, что, если в системе присутствует фиксатор нулевого порядка, на член передаточной функщт 1 - z~ замена 7= TjN и z = z]l влияния не оказьшает.*

Число требуемых дополнительных значений с (О определяет значение N. В общем, если т - число дополнительных точек, toN= т + I.

Пример 3.15. Пусть дискретная система, показанная на рис. 3.12, а, имеет передаточную функцию

ТП (3-179)

Входной сигнал А-(?) является единичной ступенчатой функцией. Период квантования равен 1 с. Требуется найти реакцию системы в моменты времени t = кТ1Ъ,к = 0,1, 2,...

На основании (3-178) z-преобразование выхода системы в дробные моменты квантования запишем как

C(z)3 = G(z)3R(z)

G(z)3=G(z)

.=,1/3 ze

z=z z=z Т=Т/3

(3-181)

ГГ=Т/3

* Если G(s) содержит фиксатор нулевого порядка, т. е. G(s) = Cf,o (s)Ci (s),

G(z)j = (1 - z-1) [ [Gi(s)/s]]=,l/N TT/N.

Следовательно,

,1/3

Ь 1/3 -1/3 Л/3

,1/3

0.717

(3-182)

z-Преобразование единичной ступенчатой функции R(z) - z/(z - 1). Тогда z-преобразование выхода системы при дробном квантовании 1/3

С(г)з = -гг-. (3-183)

- 0.717 1

Дробная степень z в последнем выражении затрудняет дальнейший анализ, поэтому введем новую переменную

Z3 = zl/3

Тогда выражение (3-183) перепишем в ввде

()3 гз - 0.717 ,3 1 (, o.717)(z-l)

Раскладывая С (z ) з в ряд по степеням Z3, получим -1

(3-184) (3-185)

С(г)з = 1-1- 0.7172- -I- O.SlSzg- + 1.368zg -I- O.gSz 4- 0.703z3 -I--I- 1.5042- + l.OSzg 4- 0.77Szg 4- 1.55zg 4-...

(3-186)

Коэффициенты разложения C(z)3 в ряд являются значениями с*(Г)з при t - = кТ/З, = О, 1,2,... . Переходный процессе* (Г)з показан на рис. 3.13. Метод дробного z-преобразования показывает, что в данном случае обычное z-преобразование привело бы к неверному результату.

Метод модифицированного z-преобразования. Другим методом определения реаквди дискретной системы между моментами квантования является метод модифицированного z-преобразования. Метод разработан как модификавдя обычного z-преобразования и предусматривает введение в дискретную систему фиктивной временной задержки.

Предположим, что требуется определить переходный процесс между моментами квантования для системы, показанной на рис. 3.14, а.Прежде всего соединим выход системы с блоком фиктивной задержки. Затем смещенный во времени выход системы проквантуем фиктивным квантователем (3.14,6) . Фиктивное время задержки равно AT, где значение Д лежит в пределах О < А < 1. Фиктивные квантователи синхронизированы с входным квантователем и имеют такую же частоту. Как видно на рис. 3.14,6 и поскольку сигнал c{t) остается неизменным, введение фиктивного квантователя не нарушает работу системы.

Выходной сигнал фиктивного квантователя с временной задержкой имеет виц

c*(t - ДТ) =

= f с(кТ-AT)5(t-kT) к=0

c(tl

(3-187)

Рис. 3.13. Переходный процесс в дискретной системе

2Г ЗТ 4Т 57

Ш eft)

r * CU)

ФиктиВмай временная завермка

Рис. 3.14. Дискретная система управления:

а - разомкнутая; б - с фиктивной временной задержкой

Z-Преобразование с* (f - ДТ) может быть выражено как

3[c*(t - ДТ)] = С(г,Д) =[c(t - ДТ)] f 6(t - кТ)

Lk=o

(3-188)

С(г,Д) =

C(s)e

-aTs

Свертка в последнем выражении

С(г,Д)=ГГ °°С()е-Т

27rJLJ

C-J

l e-T(s-s)

(3-189)

(3-190)

Интеграл в выражении (3-190) может быть определен вдоль линии с - /о°, с + /°° и полуокружности бесконечного радиуса, лежащей в левой или правой половине комплексной -плоскости (как на рис. 235) . Интегрирование по замкнутому контуру даст корректный результат для интеграла (3-190), если интеграл вдоль одной из полуокружностей равен нулю. Однако, если даже интегралы вдоль обеих полуокружностей конечны, результаты интегрирования по двум разным контурам будут различны.

Рассмотрим вначале интегрирование вдоль бесконечной полуокружности в левой половине -плоскости. Так как член е имеет полюс % = = - оо, то он расположен на бесконечной полуокружности в левой половине 1-плоскости. тобы преодолеть эту трудность, введем параметр

т=1-Д (3-191)

Поскольку о < Д < 1, значение т также лежит между нулем и единицей. Если ввести обозначение

(3-192)

C(z,m) = С(г,Д)

Д=1-т

выражение (3-190) примет вид i С(г,т)=[2С()е-Г е Те

1 - e-T(s-5)

(3-193)