Теперь интеграл вдоль полуокружности бесконечного радиуса в левой половине 1-плоскости равен нулю. Следовательно, контурный интеграл в формуле (3-193) равен интегралу вдоль прямой линии в выражении (3-190).

Применяя теорему о вычетах из теории функций комплексной переменной, запишем выражение (3-193) как

C{z, т) = SResC(J) - в полюсах С(). (3-194)

1 -ez

Выражение (3-194) дает одно из определений модифицированного z-преобразования для сигнала с (г). Проведенный анализ обосновывает также замену фактора запаздывания Д на параметр т.

Вычисляя интеграл по контуру, включающему бесконечную полуокружность в правой половине -плоскости, для интеграла (3-190) вдоль линии получим

1 1 ,..-ЛТ, -1 Н

(3-195)

В ЭТ01Ц, случае интеграл вдоль бесконечной полуокружности равен нулю, если lim C(s) = 0. Применяя теорему о вьиетах к последнему

выражению, получим

C(z, Д) = - XResC()e-* -

z = e

в полюсах 1/[ 1 -- )]. (3-196)

Так как полюсы функции 1/[1-е~(* ] имеют вид 5 = s ± jnco, п- о, 1,... и являются простыми, то выражение (3-196) дает в результате

С(2,Д) =7f. Z C(s -I- jnw )е

(3-197)

Хотя в этом случае нет необходимости вводить параметр т= 1 - Д, тем не менее для унификации определения модифицированного z-преобразования запишем выражение (3-197) как

C(z,m) = Z 0(5-1-jnw)e

-<l-m)T(s+jnWg)

(3-198)

Еще одно выражение для модифицированного z-преобразования с (?) получаем путем применения z-преобразования непосредственно к выражению (3-187) .В результате

C(z,m) = 3[c*(t-AT)] = 5c(kT-bmT-T)z-b

л=1-ш h=

Используя теорему сдвига во временной области (3-81) ,можно.упро-стить последнее выражение:

f C(z,m) = z-l f c[(k + m)T] z (3-200)

Мы определили следующие три альтернативных выражения для модифицированного z-преобразования сигнала: (3-194), (3-198) и (3-200). Эти выражения справедливы при различных условиях и применяются для разных целей. Выражение (3-194) справедливо для любого сигнала c(f), имеющего преобразование Лапласа для C(s) . Оно может быть использовано при вычислении модифицированного z-преобразования. Выражение (3-198) справедливо, если только с (0) = О, т. е. оно не действительно для временных функций, имеющих разрыв непрерывности при ? = 0. Выражение (3-200) является наиболее общим и справедливо для любого с (t).

В заключение отметим, что модифицированное z-преобразование функции с (t) обозначается следующим образом:

модифицированное z-преобразование с (?) = 5-[c(f)] =C(z,m).

(3-201)

Однако на практике C(z,m) определяют так же, как z-преобразование функции с запаздыванием c{t - AT) или c(t - Т + тТ), где О < Д < 1 и От < 1,т.е.

C(z,m) = [c(t - ДТ)] = f [c(t - Т + тТ)] (3.202)

Значения сигнала между моментами квантования определяют из C(z, т) при варьировании значения т (или Д) от нуля до единицы. Ясно, что при Д = .0 модифицированное z-преобразование сводится к обычному z-npe-образованию. Однако когда Д = О, тот = 1,и следующее выражение в общем случае несправедливо:

C(z,m) = C(z) (3.203)

Положив z = 1 в выражении (3-200) , получим

C(z,m)

= Z-1 f с[(к -t- 1)Т] z- = C(z) - с(0) (3-204)

Следовательно, выражение (3-203) в общем случае справедливо, только если с(0) = 0. Положив т= 1в выражении (3-198) , получим

I C(z,m) = Z C(s-Hjno.J

C(z) (3-205)

что обьясняется справедливостью выражения (3-198) только для с (0) = 0.

Применение модифицированного z-преобразования иллюстрируется на следующих примерах. (Таблицы модифицированного и обычного z-npe-образовайия можно найти в соответствующих учебниках и справочниках.)

Пример 3.16. Рассмотрим временную функцию с (t) = е (f > 0) ,гдео - постоянная. Используя выражение (3-200), определим модифицированное z-преобразование с (О:

Бесконечный ряд может быть представлен в кшгпк-шаьй jigiMe -таТ

C{z.m) = -- (3-207)

Поскольку с (0) # О, в этом случае С (z, 1) # С (z ) , что и предполагалось.

Подставляя преобразование Лапласа с (О в выражение (3-14), получим

C(z, i)=z

1 eTi

= z-l

(3-208)

Разложение G (z, /и) в ряд дает

C(z.m) = -I- eDT- -Ь ... + -imW-kD + ... (3-209)

Коэффициент этого бесконечного ряда при z равен значению с (f) между моментами квантования f = (к- 1)Тк1 = кТ,гаек= 1,2,... и О <т <1.

Выражение для модифицированного z-преобразования (3-198) можно использовать для определения передаточной функции системы, показанной на рис. 3.14. Так как преобразование Лапласа для выходного сигнала с (t)

C(s) = G(s)E*(s) (3-210)

то, подставляя это выражение в (3-198), получим

C(z,m)=4 Z G(s-1-jnw)E*(s Ч-jnw)e

1 -(l-m)T(s+jnu )

= E(z)i Z G(s-bjncoX

= E(z)G(z,m)

(3-211)

где G{z, m) - модифицированное z-преобразование C(s) . Приведенное выше выражение показывает, что модифицированное z-преобразование передаточной функции получается так же, как и z-преобразование функции времени, но уже в импульсной форме. Это можно продемонстрировать следующим образом:

[E*(s)] = E(z)

(3-212)

Следовательно,

frn = C(z,m) = [G(s)E*(s)] = G(z.m)E(z) (3-213)

Пример 3.17. Предпопожим, что система, показанная на рис. 3.14, имеет передаточную функцию

G(s)= (3-214)

где а - постоянная. Ко входу системы приложена единичная ступенчатая функция е(0 = Mj (f) . Необходимо определить выход системы с помощью модифищфовая-ного z-преобразования.