Я(5)

E(s) V ECS)

[ 7 С(гГ [ / C(z,m)

G(S}

C(s)

c(t}

C(t-AT)

Рис. 3.15. Замкнутая дискретная система управления с фиктивной временной за-, держкой

Модифицированное z-преобразование выходного сигнала системы определяется с помощыо выражения (3-213). Модифицированное z-преобразование G(s) уже определено выражением (3-207).

Подстановка (3-207) и z-преобразования единичной ступенчатой функции в (3-213) дает

-таТ

C(z,m) = G(z,m)E(z) =

-аТ z-1

(3-215)

Можно показать, что при разложении C(z,m) в ряд по степеням z * коэффициент

при равен е (\ - еУ/(1 - е} .Это выражение определяет значение переходной функции для временного интервала (Л - 1) 7 < г кТ, 1, при изменении т от нуля до единицы. Переходная функция будет иметь такой же ввд, как на рис. 3.13.

Для замкнутой дискретной системы ее реакция между моментами квантования может быть определена таким же образом, как и для разомкнутой системы. На рис. 3.15 показана замкнутая дискретная система с фиктивной временной задержкой на выходе. На основе структурной схемы можно записать следующие уравнения:

C(z,m) = G(z,m)E(z) (3-216)

E(z) = R(z) - GH(z)E(z) (3-217)

где GH{z) - z-преобразование С (х)Я(5) .Из уравнений (3-216) и (3-217) получим модифицированное z-преобразование выходного сигнала системы

(3-218)

Хотя первоначально метод модифицированного z-преобразования был разработан для описания сигналов между моментами квантования, он может быть также использован для систем с многократным прерыванием.

3.10. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАФОВ К ЦИФРОВЫМ СИСТЕМАМ

В предьщущих разделах для анализа замкнутых дискретных систем использовались методы z-преобразования и модифщщрованного z-преобразования. Нахождение передаточных функций одноконтурных систем Проводилось с помощью алгебраических преобразований. Однако для дискретных систем со сложной структурой и несколькими квантователями

Рис. 3.16. Замкнутая цифровая система: а - структурная схема; б - эквивалентный граф

требуется рассмотрение, упорядоченное в большей степени, так как метод структурных преобразований может оказаться достаточно сложным.

Хорошо известно, что для определения передаточных функвдй линейных непрерывных систем может быть использован метод графов, в частности формула Мэсона [15, 16]. В этом параграфе мы рассмотрим возможность применения метода графов к дискретным и вдфровым системам. Однако в большинстве вдфровых систем управления присутствуют как цифровые, так и непрерывные сигналы, поэтому, хотя и можно построить граф, эквивалентный структурной схеме, формулой Мэсона непосредственно воспользоваться нельзя. Будут рассмотрены два подхода, расширяющие аппарат метода графов. Первый основан на формировании дискретного графа , в котором все узловые переменные имеют дискретные значения. В этом случае формула Мэсона справедлива и может быть использована. Второй метод, разработанный Седлером и Бэки [ 17], позволяет определить связь между входными и выходными переменными непосредственно на основе графа системы. Для этого метода вводится формула, отличная от исходной формулы Мэсона.

Метод дискретных графов. По этому методу предусмотрена следующая процедура.

1. На основе структурной схемы системы определяем эквивалентный граф системы. Для иллюстрации на рис. 3.16 показана структурная схема системы и ее эквивалентный граф.

2. Следующий шаг включает в себя несколько операций и предусматривает построение на основе графа системы ее дискретного графа . Для системы, показанной на рис. 3.16, б, запишем систему уравнений для всех узлов графа:

E(s) = R(s) - G(s)H(s)E*(s) (3-219)

C(s) = G(s)E*(s) (3-220)

Заметим, что на этом этапе ко всем узлам применима формула Мэсона при условии, что выходные сигналы квантователей рассматриваются как входные переменные. Далее квантователи могут быть удалены из графа, поскольку определены их выходные переменные.

Переходя к дискретному преобразованию в обеих частях уравнений (3-219) и (3-220) , получим

E*(s) = R*(s) - GH*(s)E*(s) (3-221)

C*(s) = G*(s)E*(s) (3.222)

где, как было показано вьппе,

[G(s)H(s)]* = HG*(s)=GH*(s)= 1 у G(s-I-jnwJH(s-I-jnwj

(3.223)

[E*(s)l* = i I E*(s + jncoJ = E*(s) (3-224)

n=-~

Так как уравнения (3-221) и (3-222) содержат только дискретные переменные, то теперь граф, соответствующий этим уравнениям, называется дискретным графом системы, изображенной на рис. 3.16. Дискретный граф показан на рис. 3.17.

3. После определения дискретного графа системы передаточная функция между любой парой входных и выходных узлов* этого графа может быть определена по формуле Мэсона. Например, для дискретного графа, показанного на рис. 3.17, где С* (s) кЕ* (s) относятся к выходным узлам, применение формулы Мэсона дает

w = TT(W)

4. Передаточные функции между входными и непрерывными выходными сигналами системы могут быть получены из составного графа [ 19]. Составной граф цифровой системы является комбинацией эквивалентного непрерывного и дискретного графов. Для его ползд1ения выходные узлы квантователей эквивалентного Графа соединяем с аналогичными узлами дискретного графа с помощью ветвей с единичными коэффициентами усиления. В качестве примера на рис. 3.18 показан составной граф для системы, изображенной на рис. 3.16.

Применение формулы Мэсона к составному графу позволяет определить передаточные функции для всех хщфровых и непрерывных выходных сигналов. Следовательно, из. рис. 3.18 получим

С( )=1ТШ(Г)*( (3-227)

E(s)=R(s)-rf§iR*(B) (3.228)

Описанная выше процедура может быть применена к линейным Мно-

Рис. 3.17. Дискретный граф системы, показанной иа рис. 3.16

Ркс. 3.18. Составной граф цифровой системы, показанной на рис. 3.16

-М(5)

* Согласно определениям метода графов под входным узлом понимают узел, имеющий только выходящие ветви, а под выходным - узел, объединяющий только входящие ветви.