4.2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

И ПЕРЕХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Пусть непрерывная система с р входами и q выходами, изображенная на рис. 4.1, описывается следующей системой дифференщ1альных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния:

dx=(t)

= fi[Xi(t),x2(t),...,xJt),u,(t),u2(t),...,Up(t),t] (i=l,2,...,n) (4-0

где X, (г) , Х2 (О > > - переменные состояния; щ {t), U2 {t),

Up (?) - входные переменные, fi - z-e функциональное соотношение, которое в общем случае может быть линейным или нелинейным.

Выходные переменные системы связаны с переменными состояния и входными переменными через уравнения выхода, которые имеют вид

C(t)= g[x,-(t),x2(t),...,X (t),Uj(t),u2(t),...,Up(t),t]

(к= l,2,...,q) (4-2)

Здесь;;. HMeef тот же смысл,что и/} в выражении (4-1) .

Совокупность уравнений состояния и уравнений вьгхода называется уравнениями динамики системы.

Обычно уравнения динамики записывают в следующей векторно-мат-ричной форме: dx(t)

уравнение состояния -= f[x(t),u(t),t] (4-3)

уравнение выхода c(t) = g[x(t),u(t),t]

где вектор состояния (матрица-столбец размерностью и X 1)

x(t) =

x2(t)

x (t)

(4-4)

(4-5)

вектор входа (матрица-столбец размерностью р X 1)

u(t) =

Uj(t)

Up(t)

u,a).

арШ-

(4-6)

Рис. 4.1. Линейная система с р входами,

- (t) q выходами и п переменными состояния

вектор выхода (матрица-столбец размерностью X 1)

c(t) =

c,(t)

c(t)

(4-7)

Если система линейна, но содержит нестационарные элементы, уравнения динамики (4-3) и (4-4) записываются в виде

= A(t)x(t) + B(t)u(t)

(4-8)

c(t) = D(t)x(t) + E(t)u(t) (4-9)

где A (/) - квадратная матрица размерностью и X м; В (?), D (?) и Е (?) - матрицы размерностью пХр, Хн и q-p соответственно. Все элементы этих матриц-коэффипдентов предполагаются непрерывными функциями времени t.

Если система линейна и стационарна, уравнения (4-8) и (4-9) принимают вид

dx(t) dt

= Ax(t) -I- Bu(t)

(4-10) (4-11)

c(t) = Dx(t) -I- Eu(t)

В этом случае элементы матриц А, В, D и Е - константы.

Переходная матрица состояния для нестационарных систем. По определению переходная матрица состояния Ф(?, ?о) - это матрица размерности п X и, удовлетворяющая однородному уравнению состояния

(4-12)

= A(t)x(t) dt

для всех действительных to,т. е. d0(t,tn)

-A(t)0(t,to) (4-13)

с начальным условием Ф(?о,?о) ~ где I - единичная матрица размерностью и X и.

Тогда решение однородного уравнения состояния (4-12) имеет вид x(t)=0(t,to)x(to)

для любых t и tg,ЧТО МОЖНО доказзть, продифференцировав во времени обе части выражения (4-14) с использованием (4-13) .

Для нестационарного уравнения состояния (4-12) переходная матрица состояния определяется как

0(t,t) = ехрГГ* А(т)ат1 = l + t А(+ Г А(г)агГ A(X)dX + ...

(4-15)

если матрицы А (г) и J А(т)с1т коммутативны, т.е. to

А(1)Г A(r)dT=r A(r)drA(t) (4.16)

Для доказательства продифференцируем по времени обе части выражения (4-15)

7 A(r)d + A{r)drf A(X)dX-l- ...

iT-t-

iTA(t) + ...

I -f- f A(T)dT to

= A(t) + ~ A{t)f A(r)dr

(4-17)

Ilpaii;iH часть выражения (4-13) имеет вид

A(t)0(t,to) = A(t) + Ait)f A(T)dT + ... (4-18)

to

Сравнение (4-18) и (4-17) показывает, что эти два выражения равны только в том случае, если A{t) удовлетворяет условию (4-16).

Свойства переходной матрицы состояния (нестационарный случай). Рассмотрим некоторые важные свойства переходной матрицы состояния.

1.Ф(?1, t2)Ф(?2, ?з) = Ф(1, 3) для любых ti,t2,h (4-19)

Это свойство вытекает из следующих равенств

x(tj)=0(t t2)x(t2)

х(Ц)=<М1 1з)х(1з) Подстановка (4-21) в (4-20) дает x(tj)= 0(tj,t2)0(t2,t3)x(t3)

Сравнение выражений (4-22) и (4-23) доказывает утверждение (4-19).

2. Ф(?о, 0 ) = I (единичная матрица). (4-24)

Это свойство следует непосредственно из (4-15).

3. Ф(?, to) - невырожденная матрица, т.е. определитель Ф(?, ?о)1не равен нулю. Это следует из теоремы Абеля-Якоби-Лиувилля [12], которая утверждает, что

<(t,to)l = ехрГГ trA(T)dr yt -I

(4-20) (4-21)

(4-22) (4-23)

(4-25)

где 1гА(т) - след матрицы А(т), равный сумме элементов главной диаго-

нали А(т). Очевидно, что, поскольку / ггА(т)йт не может быть равным

- °° для любых tiito, определитель Ф(?, ?о ) I не равен нулю.