4. Если Ф(Г2. 1) - невырожденная матрица, то

Ф(1, 2 ) = Ф(2, ?1) для любых ?1 и ?2 (4-26)

Полагая ?i = ?з в выражении (4-19) и используя свойство (4-24), получаем

0(ti,t2Mt2.ti)=I (4-27)

Таким образом, умножая обе части последнего выражения справа на

Ф (?2, 1). получим (4-26).

Переходная матрица состояния (стационарный случай). Для линейных стационарных систем однородное уравнение состояния запишем в виде

= Ax(t) (4-28)

В этом случае из (4-15) следует, что переходная матрица состояния определяется как

1 о ,9 A(t-tn)

0(t-to)=I+A(t-to)-H2jA2(t-to)2-b... =е О (4-29) Для ?о = О

т-=1 (4-30)

с учетом стационарности рассматриваемой системы возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (4-28):

sX(s)-x(0)= AX(s)

где х(0*) - начальный вектор состояния, определяемый при t = О*. Решение уравнения (4-31) дает

X(s)= (si-А)-1х(0) (4-32)

Вычисляя обратное преобразование Лапласа от обеих частей последнего выражения, получим

x(t) =-4(sI- А)-1]х(0) (4.33)

, Таким образом, переходная матрица состояния определяется также равенством

0(t)=-4(sl-АГ] (4.34)

Свойства переходной матрицы состояния (стационарный случай). Все свойства переходной матрицы состояния стационарной системы могут быть получены как частные случаи для нестационарных систем. Они формулируются в следующем виде

1.Ф(?1 - ?2Ж2 - з) = Ф(1 - ?з) для любых ?1,?2,?з- (4-35) 2.Ф(0) = 1. (4-36)

З.Ф(?) - невырожденная матрица для конечномерной матрицы А.

: 4. -l(t) = 0(-t) . (4.37)

Решение неоднородного уравнения состояния. Заметим, что если неоднородное нестационарное уравнение состояния

= A(t)x(t) + B(t)u(t) (4-38)

преобразовать сначала к виду

Мр. = Щ) . (4-39)

то его решение не будет представлять затруднений. Положим

x(t)= <Mt,to)y(t) 40)

где Ф{1, to) - переходная матрица состояния. Тогрэ

Приравнивая уравнения (4-28) и (4-41) с учетом равенств (4-13) и (40), получаем

(t,to) = B(t)u(t) (4-42)

Таким образом,

= 0(to,t)B(t)u(t) (4-43)

Решение уравнения (4-43) находим интегрированием обеих частей:

y(t) = y(to) + J ф(1о,т)В(т)и(т)с1т (4-44)

Теперь с использованием выражения (4-40) решение уравнения (4-38) будет иметь ввд

x(t) = Ht, to )x(to) -I- f ф{1, T)B(r)u(r)d7- (445)

для любых tUto.

Для стационарных систем решение уравнения (4-10) с очевидностью следует из выражения (445):

. x(t) = 0(t - )x(to )+C ф(1- r)B(T)u(7)dr (446)

для любых tVLto.

Найденные уравнения состояния называют также переходными уравнениями состояния.

4.3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЦИФТОВЫХ СИСТЕМ С КВАНТОВАНИЕМ И ФИКСАЦИЕЙ

Если на входе системы, изображенной на рис. 4.1, добавить устройства выборки и хранения, получим разомкнутую дискретную систему, представленную на рис. 4.2.

Поскольку ,(?), / = 1, 2, . . ., р, являются выходными сигналами устройств выборки и хранения, они описываются равенствами

Uj(t) = и;(кТ) = е;(кТ) кТ < t < (к + 1)Т (4-47)

где А: = 0,1,2,/=1,2,р.

Предположим, что динамика линейной системы характеризуется нестационарными уравнениями состояния (4-8). Переходное уравнение состояния имеет вид (4-45) для всех ? и ?о Посколыу входы системы постоянны на интервале квантования Т, в формуле (4-45) входной вектор и(т) может быть вынесен за знак интеграла. Тогда

x(t) = 0(t.to)x(to) -f 0(t,r)B(r)dru(kT) (4-48)

причем подразумевается,что = кТикТ< t< {к + 1)Т.

Выражение (4-48) описывает состояния в течение интервала квантования кТ<: t <:{к + 1)Т. После дальнейшего преобразования его можно использовать и для описания изменения состояний цифровой системы непосредственно с момента квантования. Полагая в (4-48) to = кТ и t = = (к+ 1)Т, получим

х[(к -I- 1)Т] = ф[(к + 1)Т,кТ]х(кТ) -I- е[(к -I- 1)Т,кТ]и(кТ) (4-49)

тякТ<1<(к+ 1)Т,где

> /.(k+iyr

е[(к-И)Т,кТ] =/ 0[(к+ l)T,r]B(r)dT (4-50)

Следует заметить, что, хотя ui{kT) является постоянной величиной только на интервале от кТ цо {к+ 1)Т , решение (4-48) справедливо для всего интервала квантования, включая t = (к + 1)Т, поскольку x{t) есть непрерывная функция времени t.

Выражение (4-49) представляет собой дискретное уравнение состояния цифровой системы, изображенной на рис. 4.2. Однако, оно описывает динамику состояния только в моменты квантования. Другими словами, при замене =kTHt={k+ [)Тв формуле (4-48) теряется вся информация о поведении системы между моментами квантования.

По аналогии дискретизация уравнения выхода (4-9) осуществляется заменой t = кТ:

; с(кТ) = D(kT)x(kT)-I-Е(кТ)и(кТ) (4-51)

Соотношенрш (4-49) и (4-51) в сово-купности образуют уравнения дина- -fi-3rJ0\-

МИКИ цифровой системы.. 1Ё1>ЁЙЩЩё}:

Рис. 4.2. Многомерная цифровая система £Ш:>£ЁЦЩ. с квантованием и фиксацией Г

Upft)

Линейная система