а переходное уравнение состояния в виде

x(ki) = 0(к,ко)(1о) + I 0(kj,kj)B(kj)u{kj) (4-75)

A(kj j)A(kj 2)... A(kj )А(ко) kj > к (4.76)

0<к,ко) = -

В этом случае интервалы между kj и , не обязательно постоянны и kj может обозначать дискретное время или шаг.

Матрица Mkj, о) размерностью иХи называется переходной матрицей состояния для матрицы Mkj) и удовлетворяет однородному уравнению состояния

x(kji)= А(крх(кз) (4-77)

для/ > 0. Таким образом, справедливо следующее соотношение:

<l>{li-i ,\)= М.к)Ф(к,\) ц>\ (4-78)

Свойства переходной матрицы состояния Ф(А:/, А:о)- Подобно непрерывным системам переходкая матрица состояния {kj, ко) имеет следую-шие свойства, важные для анализа цифровых систем.

1. Ф(/, /) Ф{], т) = Ф(1, т) для всех шагов г, /, т, (4-79)

если матрица А ) невырождена для всех к, лежащих между min(/, /, т) и тах(г, /, т). Если матрица А(А:) вырождена для к>р,то равенство (4-79) справедливо только для шах (г, j,m)<p.

Этапы доказательства этого свойства очень похожи на процедуру, описываемую выражениями (4-20) - (4-23). Чтобы переходный процесс состояния мог развиваться в обоих направлениях, необходимо существование матрицы А * (/:), поскольку г, jam- произвольные числа. Если А(А:) - вырожденная матрица для к>р, можно записать

0(i,j)0(j,m) = A(i - l)A(i - 2) ... A(j)A(j - l)A(j (4.8O)

-2)...A(m) = 0(i,m) для p > i > j > m.

2. 0(k,k)=I (4-81)

Это свойство следуег непосредственно из определения (4-73) матрицы Ф(А:,М).

3. Ф(/, /) = Ф О, О для всех /, /, (4-82)

если А{к) - невырожденная матрица для к = j-l,j-2,...ii j>i к= i-2,...,j i>j

Доказательство этого свойства предлагается читателю выполнить в качестве упражнения.

4j6. переходные уравнения

состояния цифровых стационарных систем

Если линейная цифровая система стационарна, ее уравнения динамики можно записать в нескольких видах:

х[(к + 1)Т] = (НТ)х(кТ) + в(Т)и(кТ) (4-83)

с(кТ) = Dx(kT) -(- Eu(kT) (4-84)

где Ф(7) - переходная матрица состояния;

0(Т)=еАТ=1+ АТ++... . (4-85)

в(Т) = АКТ - T)B(T)dT (4.86)

х(к + 1) = 0(1)х(к) -(- е(1)и(к) (4-87)

с(к) = Dx(k) + Eu(k) (4-88)

х(к -(- 1) = Ах(к) + Ви(к) (4-89)

с(к) = Dx(k) -(- Eu(k) (4-90)

Как было показано выше, матрицы Ф(7} и Ф(1) всегда невырождены, если элементы А конечны. Однако в общем случае не существует ограничений на матрицы коэффициентов чисто цифрового уравнения состояния (4-89), так что А может быть вырожденной матрицей.

Как и для нестационарных систем, стационарное уравнение состояния можно решить с помощью итерационной процедуры. Для уравнения (4-83) решение имеет вид

x(NT) = 0(NT)x(O) + Z <*t(N - к - l)T]e(T)u(kT) (4-91)

0(NT)=0(T)<J(T)...0(T) = Ат)

(4-92) N

Следует заметить, что ЩЫТ) - зто только обозначение, используемое для упрощения записи в выражении (4-92). В общем случае Ф{ЫТ) не равно Ф(Т), где Т заменено на ЛТ , хотя в простейших случаях равенство может оказаться справедливым.

Для уравнения (4-89) переходное уравнение состояния имеет вид N-1

x(N)= Ах(0)-(- Z А --Ви(к) (4-93)

Эти переходные уравнения состояния можно записать также со сдвигом для нулевого начального времени или шага, т.е.

x[(N + М)Т] = 0(NT)x(MT) + У ф[{N - к - (4-94)

- i)T]e(T)u[(M-t-к)Т]

x(N + М)= ах(М) -(- f А-к-1ви(М -I- к) (4-95)

4.7. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ

Дискретные уравнения состояния можно получить также в результате приближенного описания аналоговой системы цифровой моделью. Рассмотрим следующие уравнения динамики аналоговой системы:

x(t) = A(t)x(t) -(- B(t)u(t) (4-96)

c(t) = D(t)x(t) -t- E(t)u(t) (4-97)

Перейдем к цифровой аппроксимации системы в моменты t = t/. Положим

tk.i = tk + Д к (4-98)

Производную от х(?) в момент t = tj можно приблизительно вьиислить с помощью следующего соотношения:

(к) - [(кп) - (*к (4-99)

Тогда уравнение (4-96) аппроксимируется выражением

[x(t ,) - x(t,)] = A(t,)x(t,) + B(t,)u(t,) (4.100)

По аналогии уравнение (4-97) принимает вид

c(t) = D(t)x(t) + E(t)u(tb) (4.101)

Уравнение (4-100) окончательно запишем й форме дискретного уравнения состояния

x(t) = [I + AtA(t)]x(tb) + AtbB(t)u(t) (4.102)

4.8. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Метод z-преобразования можно применять для решения линейных дискретных стационарных уравнений состояния. Кроме того, ниже рассмотрен еще один метод определения дискретной переходной матрицы состояния.